原子核・素粒子の問題

静止している ${\pi }^{+}$ 中間子が、2 体崩壊
$${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+X$$
を起こす。$X$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu }$ のうちの 1 つであり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数 $L_e$・ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ がすべて保存するように決まる。量子数は次のとおりとする（記載のない量子数は $0$、反粒子は符号が反転する）。

• ${\pi }^{+}$: 電荷 $+1$
• ${\mu }^{-}$: 電荷 $-1$、$L_{\mu }=1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$

静止質量エネルギーを $m_{\pi }{c}^2=139.57\mathrm{MeV}$、$m_{\mu }{c}^2=105.66\mathrm{MeV}$ とし、$X$ の質量は $0$ とする。崩壊で生じた ${\mu }^{+}$ の運動エネルギーを、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

自由な陽子は崩壊しないが、十分なエネルギーをもつ電子を当てると、反応
$$e^{-}+p\to n+Y$$
が起こりうる。ここで $Y$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu },\gamma$ のいずれか 1 つの粒子であり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がすべて保存するように決まる。各粒子の量子数は次のとおりである（反粒子は符号が反転する）。

• $e^{-}$: 電荷 $-1$、$L_e=1$
• $p$: 電荷 $+1$、バリオン数 $1$
• $n$: 電荷 $0$、バリオン数 $1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$、$\gamma$: すべて $0$

（記載のない量子数は $0$ とする。）

静止質量エネルギーを $m_p{c}^2=938.27\mathrm{MeV}$、$m_n{c}^2=939.57\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$ とし、$Y$ の質量は $0$ とする。静止している陽子に電子を入射させるとき、この反応が起こるための電子の運動エネルギーの最小値を、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

次の表は、いくつかの粒子の静止質量（単位 $\mathrm{MeV}/c^2$）と、電荷 $Q$（電気素量 $e$ 単位）、バリオン数 $B$、電子型レプトン数 $L_e$、ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ である。反粒子は、質量が粒子と同じで、$Q,B,L_e,L_{\mu }$ がすべて粒子の符号を反転した値をもつ。${\pi }^0$ と光子 $\gamma$ は自分自身が反粒子であり、ニュートリノと光子の質量は $0$ とする。

（${\pi }^{-}$ は ${\pi }^{+}$ の反粒子である。）

静止している自由な粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(8)$ について、「電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がそれぞれ保存し、かつ崩壊前の粒子の静止質量が崩壊後の粒子の静止質量の和より大きい」ときに限り崩壊が起こりうるとする。この基準で起こりうる崩壊の番号をすべて求めよ。

$(1)$ $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ $p\to e^{+}+{\pi }^0$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(5)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(6)$ ${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+{\nu }_{\mu }$

$(7)$ $\Lambda \to p+{\pi }^{-}$

$(8)$ ${\pi }^{-}\to e^{-}+{\nu }_e$

静止している ${}_{88}^{226}\mathrm{Ra}$ 原子核が $\alpha$ 崩壊して ${}_{86}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核になる。各原子核の結合エネルギーは次のとおりとする。
$$B({}^{226}\mathrm{Ra})=1731.610\mathrm{MeV},B({}^{222}\mathrm{Rn})=1708.184\mathrm{MeV},B({}^4\mathrm{He})=28.296\mathrm{MeV}$$
測定の結果、この崩壊で放出される $\alpha$ 粒子のうち、運動エネルギー $4.601\mathrm{MeV}$ の $\alpha$ 粒子は、${}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核が励起状態にある崩壊で放出されたものであることがわかった。この励起状態の、基底状態から測った励起エネルギー $E_x$ を MeV 単位で求め、有効数字 3 桁で答えよ。

ただし、崩壊後の $\alpha$ 粒子と ${}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核の運動は非相対論的に扱い、運動エネルギーを分配する際の質量比は質量数の比で近似してよい。また、崩壊前の ${}^{226}\mathrm{Ra}$ 原子核は静止しており、崩壊は 2 体崩壊とする。

${}_6^{11}\mathrm{C}$ 原子核は ${\beta }^{+}$ 崩壊して ${}_5^{11}\mathrm{B}$ 原子核になる:
$${}_6^{11}\mathrm{C}\to {}_5^{11}\mathrm{B}+e^{+}+{\nu }_e.$$
中性原子の質量（電子を含む原子全体の質量）が、${}_6^{11}\mathrm{C}$ 原子: $11.011434\mathrm{u}$、${}_5^{11}\mathrm{B}$ 原子: $11.009305\mathrm{u}$ と与えられている。電子（陽電子）の質量を $0.000549\mathrm{u}$、$1\mathrm{u}$ に相当するエネルギーを $931.5\mathrm{MeV}$ とし、ニュートリノの質量と、原子中の電子の結合エネルギーは無視する。

この崩壊の Q 値（崩壊で解放されるエネルギー）を MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。