原子核・素粒子の問題

静止している粒子が崩壊する次の過程 $(1)$〜$(8)$ を考える。

$(1)$ $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(5)$ ${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+{\nu }_{\mu }$

$(6)$ $p\to e^{+}+{\pi }^0$

$(7)$ ${\Lambda }^0\to p+{\pi }^{-}$

$(8)$ ${\pi }^{-}\to e^{-}+{\nu }_e$

ここでは、次の 5 つの条件をすべて満たす過程を「起こりうる」とし、1 つでも満たさない過程を「起こらない」とする。
- 電荷の保存
- バリオン数の保存（$p,n,{\Lambda }^0$ は $+1$、それ以外の粒子は $0$）
- 電子型レプトン数 $L_e$ の保存（$e^{-},{\nu }_e$ は $+1$、$e^{+},{\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$）
- ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ の保存（${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+},{\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$）
- エネルギー保存：崩壊前の粒子の静止質量が、崩壊後の粒子の静止質量の和より大きい

静止質量（単位 $\text{MeV}/c^2$）は、$p$: $938.3$、$n$: $939.6$、$e^{\pm }$: $0.511$、${\mu }^{\pm }$: $105.7$、${\pi }^{\pm }$: $139.6$、${\pi }^0$: $135.0$、${\Lambda }^0$: $1115.7$ とし、ニュートリノと光子 $\gamma$ の質量は $0$ とする。電荷は $p,{\mu }^{+},{\pi }^{+},e^{+}$ が $+e$、$e^{-},{\mu }^{-},{\pi }^{-}$ が $-e$、その他は $0$ である。

起こりうる過程の番号をすべて求め、集合で答えよ。

静止している粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(5)$ のうち、電荷・バリオン数・電子数 $L_e$・ミューオン数 $L_{\mu }$ の保存と、エネルギーの保存（崩壊前の静止質量が崩壊後の静止質量の和以上であること）をすべて満たし、起こりうるものの番号をすべて求めよ。

$(1)$ $\mathrm{n}\to \mathrm{p}+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $\mathrm{p}\to \mathrm{n}+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(5)$ $\mathrm{p}\to e^{+}+{\pi }^0$

ただし、静止質量は $\mathrm{n}$: $939.6\text{MeV}/c^2$、$\mathrm{p}$: $938.3\text{MeV}/c^2$、$e^{\pm }$: $0.511\text{MeV}/c^2$、${\mu }^{-}$: $105.7\text{MeV}/c^2$、${\pi }^0$: $135.0\text{MeV}/c^2$ とし、ニュートリノと光子 $\gamma$ の質量は $0$ とする。量子数は次のとおりとする。
- バリオン数：$\mathrm{p}$, $\mathrm{n}$ は $+1$、それ以外の粒子（レプトン・${\pi }^0$・$\gamma$）は $0$
- 電子数 $L_e$：$e^{-}$, ${\nu }_e$ は $+1$、$e^{+}$, ${\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$
- ミューオン数 $L_{\mu }$：${\mu }^{-}$, ${\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+}$, ${\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$

次の表は、いくつかの粒子の静止質量（単位 $\mathrm{MeV}/c^2$）と、電荷 $Q$（電気素量 $e$ 単位）、バリオン数 $B$、電子型レプトン数 $L_e$、ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ である。反粒子は、質量が粒子と同じで、$Q,B,L_e,L_{\mu }$ がすべて粒子の符号を反転した値をもつ。${\pi }^0$ と光子 $\gamma$ は自分自身が反粒子であり、ニュートリノと光子の質量は $0$ とする。

（${\pi }^{-}$ は ${\pi }^{+}$ の反粒子である。）

静止している自由な粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(8)$ について、「電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がそれぞれ保存し、かつ崩壊前の粒子の静止質量が崩壊後の粒子の静止質量の和より大きい」ときに限り崩壊が起こりうるとする。この基準で起こりうる崩壊の番号をすべて求めよ。

$(1)$ $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ $p\to e^{+}+{\pi }^0$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(5)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(6)$ ${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+{\nu }_{\mu }$

$(7)$ $\Lambda \to p+{\pi }^{-}$

$(8)$ ${\pi }^{-}\to e^{-}+{\nu }_e$

静止している ${\Sigma }^{-}$ 粒子（静止エネルギー $1197.4\mathrm{MeV}$、電荷 $-e$、バリオン数 $1$、レプトン数 $0$）の崩壊を考える。終状態の粒子は、次の表の粒子だけから選ぶものとする（同じ種類の粒子を 2 個以上含んでもよい）。

ここで $p,n,\Lambda$ のバリオン数は $1$、それ以外の粒子のバリオン数は $0$ である。電子型レプトン数 $L_e$ は $e^{-},{\nu }_e$ が $+1$、$e^{+},{\bar{\nu }}_e$ が $-1$、ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ は ${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ が $+1$、${\mu }^{+},{\bar{\nu }}_{\mu }$ が $-1$ で、他の粒子はどちらも $0$ である。

崩壊が起こりうる条件として、次の 2 つだけを課す。

• 電荷・バリオン数・$L_e$・$L_{\mu }$ がそれぞれ保存する（弱い相互作用による崩壊も考えるので、ストレンジネスは保存しなくてよい）。
• 終状態の粒子の静止エネルギーの和が、${\Sigma }^{-}$ の静止エネルギーより小さい。

角運動量やパリティなど、これ以外の選択則は考えない。終状態は、含まれる粒子の種類と個数の組（並べ方は区別しない）で区別する。終状態の粒子数が $2$ 個または $3$ 個であって、上の条件をすべて満たす終状態は何通りあるか。

静止している ${\pi }^{+}$ 中間子が、2 体崩壊
$${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+X$$
を起こす。$X$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu }$ のうちの 1 つであり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数 $L_e$・ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ がすべて保存するように決まる。量子数は次のとおりとする（記載のない量子数は $0$、反粒子は符号が反転する）。

• ${\pi }^{+}$: 電荷 $+1$
• ${\mu }^{-}$: 電荷 $-1$、$L_{\mu }=1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$

静止質量エネルギーを $m_{\pi }{c}^2=139.57\mathrm{MeV}$、$m_{\mu }{c}^2=105.66\mathrm{MeV}$ とし、$X$ の質量は $0$ とする。崩壊で生じた ${\mu }^{+}$ の運動エネルギーを、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。