クーロン散乱の衝突径数と散乱角

斥力 $U = \frac{k}{r}$ による双曲線軌道で $b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$ や最近接距離を使い、直線軌道で力積を積分するインパルス近似 $θ \approx \frac{Δ p _{⊥}}{m v} = \frac{k}{K b}$ と比べて散乱角を求められる

前提

ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
広義積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
広義積分（大学数学微分積分）

説明

固定された力の中心がつくる斥力のポテンシャル $U = \frac{k}{r}$ （ $k > 0$ 。電荷 $q_{1}, q_{2}$ の同符号のクーロン力なら $k = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}}$ ）に向かって、遠くから運動エネルギー $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ で粒子が入射するとき、入射線と中心との距離（衝突径数） $b$ と散乱角 $θ$ の関係 $b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$ を導いて使えるようになります。あわせて最近接距離を求め、散乱角が小さいときには直線軌道に沿って力積を積分するインパルス近似 $θ \approx \frac{k}{K b}$ でも同じ結果になることを確かめます。ラザフォードの $α$ 粒子散乱の解析の基本です。

なぜそうしてよいのか

（厳密な軌道から）入射粒子の全エネルギーは $E = K$ 、中心のまわりの角運動量は $L = m v b$ で、どちらも保存します。逆 2 乗の引力の軌道 $r = \frac{l}{1 + e cos φ}$ で引力の定数を $- k$ に置き換えると、斥力の軌道は $r = \frac{l}{e cos φ - 1}$ （ $l = \frac{L ^{2}}{mk}$ , $e = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m k ^{2}} > 1$ ）という双曲線の片方の枝になります。 $r \to \infty$ となる漸近線の方向は $cos φ_{0} = \frac{1}{e}$ で、粒子は $φ = - φ_{0}$ の方向から来て $φ = + φ_{0}$ の方向へ去るので、速度の向きの変化（散乱角）は $θ = π - 2 φ_{0}$ 。よって $\frac{1}{e} = cos φ_{0} = sin \frac{θ}{2}$ です。一方 $m v^{2} = 2 K$ を使うと
$e^{2} - 1 = \frac{2 K ( m v b ) ^{2}}{m k ^{2}} = (\frac{2 K b}{k})^{2},$
また $e^{2} - 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( θ /2 )} - 1 = cot^{2} \frac{θ}{2}$ なので、 $cot \frac{θ}{2} = \frac{2 K b}{k}$ 、すなわち $b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$ です。 $b$ が小さいほど大きく曲がり、 $b = 0$ （正面衝突）で $θ = π$ です。

最近接距離 $r_{m i n}$ では速度が動径に垂直なので、速さを $u$ とすると $m u r_{m i n} = m v b$ 。エネルギー保存 $K = \frac{k}{r _{m i n}} + K \frac{b ^{2}}{r _{m i n}^{2}}$ から $r_{m i n}^{2} - \frac{k}{K} r_{m i n} - b^{2} = 0$ 、正の解をとって
$r_{m i n} = \frac{k}{2 K} + (\frac{k}{2 K})^{2} + b^{2}$
です。正面衝突（ $b = 0$ ）では $r_{m i n} = \frac{k}{K}$ になります。

（インパルス近似）散乱角が小さいときは、粒子はほぼ直線 $x = v t$ , $y = b$ を等速で進むとみなせます。進行方向に垂直な力の成分は $F_{⊥} = \frac{k}{r ^{2}} \cdot \frac{b}{r} = \frac{k b}{( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} ) ^{3/2}}$ なので、受ける力積は広義積分
$Δ p_{⊥} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{k b d t}{( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{k b}{v} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{( b ^{2} + x ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{k b}{v} \cdot \frac{2}{b ^{2}} = \frac{2 k}{b v}$
（ $x = b tan u$ と置換）。進行方向の力は前半と後半で打ち消すので、 $θ \approx \frac{Δ p _{⊥}}{m v} = \frac{2 k}{bm v ^{2}} = \frac{k}{K b}$ 。厳密な式を $tan \frac{θ}{2} = \frac{k}{2 K b}$ と書き、 $θ$ が小さいとき $tan \frac{θ}{2} \approx \frac{θ}{2}$ とするとこれと一致します。

手順

ポテンシャルの定数 $k$ （クーロン力なら $k = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}}$ ）と入射の運動エネルギー $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ を確認し、長さの目安 $\frac{k}{2 K}$ を計算する。
衝突径数 $b$ から散乱角を求めるときは $cot \frac{θ}{2} = \frac{2 K b}{k}$ （ $tan \frac{θ}{2} = \frac{k}{2 K b}$ ）を解く。逆に $θ$ から $b$ を求めるときは $b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$ 。
最近接距離が必要なら $r_{m i n} = \frac{k}{2 K} + (\frac{k}{2 K})^{2} + b^{2}$ を使う（ $b = 0$ で $\frac{k}{K}$ ）。
散乱角が小さい（ $b ≫ \frac{k}{2 K}$ ）ときは、インパルス近似 $θ \approx \frac{Δ p _{⊥}}{m v} = \frac{k}{K b}$ でも求められる。
厳密な値と近似の値を比べ、 $θ$ が小さいほど両者が近いことを確かめる。

例題

固定された力の中心によるポテンシャル $U = \frac{k}{r}$ （ $k > 0$ ）に、十分遠方から運動エネルギー $K$ の粒子が衝突径数 $b = \frac{k}{2 K}$ で入射した。散乱角 $θ$ （ $0 \leq θ \leq π$ ）を求めよ。

例題の解答

（手順 1）長さの目安は $\frac{k}{2 K}$ で、 $b$ はちょうどこれに等しい。

（手順 2） $cot \frac{θ}{2} = \frac{2 K b}{k} = \frac{2 K}{k} \cdot \frac{k}{2 K} = 1$ 。 $0 \leq \frac{θ}{2} \leq \frac{π}{2}$ の範囲で解くと $\frac{θ}{2} = \frac{π}{4}$ 、よって $θ = \frac{π}{2}$ 。

（手順 3、参考）このときの最近接距離は $r_{m i n} = \frac{k}{2 K} + 2 \frac{k}{2 K} = \frac{( 1 + 2 ) k}{2 K}$ 。

（手順 4・5、参考）インパルス近似では $θ \approx \frac{k}{K b} = 2$ rad となり、厳密な値 $\frac{π}{2} \approx 1.57$ rad からかなりずれる。散乱角が大きいので直線軌道の近似が成り立たないためである。

答え: $\frac{π}{2}$

よくある誤り

$b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$ を $b = \frac{k}{2 K} tan \frac{θ}{2}$ や $cot θ$ としてしまう誤り。 $b \to 0$ で正面衝突 $θ = π$ 、 $b \to \infty$ で $θ \to 0$ となることで確かめる。正しくは $cot \frac{θ}{2} = \frac{2 K b}{k}$ 。
散乱角を漸近線の方向角 $φ_{0}$ そのものや $2 φ_{0}$ としてしまう誤り。正しくは入射方向と出射方向のなす角なので $θ = π - 2 φ_{0}$ （ $cos φ_{0} = \frac{1}{e}$ ）。
最近接距離をいつも正面衝突の値 $\frac{k}{K}$ としてしまう誤り。 $b \neq = 0$ では最近接点でも運動エネルギーが残るので、正しくは $r_{m i n} = \frac{k}{2 K} + (\frac{k}{2 K})^{2} + b^{2} > \frac{k}{K}$ 。
インパルス近似で力積を半分の区間 $t \geq 0$ だけで積分したり、 $m v^{2}$ と $K$ を取り違えたりして $θ \approx \frac{k}{2 K b}$ や $\frac{2 k}{K b}$ としてしまう誤り。正しくは $Δ p_{⊥} = \frac{2 k}{b v}$ で $θ \approx \frac{2 k}{bm v ^{2}} = \frac{k}{K b}$ 。また大きい散乱角ではこの近似は使えない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
運動エネルギー $K$ の $α$ 粒子が、遠方から重い原子核に向かって入射する。原子核は十分重く、静止したまま動かないものとする。 $α$ 粒子と原子核の間にはクーロン斥力がはたらき、そのポテンシャルエネルギーは中心からの距離 $r$ を用いて $U = \frac{k}{r}$ （ $k$ は正の定数）で表される。このとき $α$ 粒子は双曲線軌道を描き、衝突径数 $b$ と散乱角 $θ$ の間には
$b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$
の関係が成り立つ。
散乱角が $θ = \frac{π}{3}$ となるときの衝突径数 $b$ を、 $k$ , $K$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

散乱断面積とラザフォードの公式（大学物理原子核・素粒子）
制動放射（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））