制動放射

クーロン散乱で減速・偏向される荷電粒子が放出する全放射エネルギーや、衝突時間から決まるスペクトルの上限振動数（低周波で平坦なスペクトル）を求められる

前提

クーロン散乱の衝突径数と散乱角（大学物理原子核・素粒子）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
ラーモアの公式と全放射電力（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
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逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
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二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
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角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
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力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
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加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）
点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
極方程式（数学C 平面上の曲線）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
広義積分（大学数学微分積分）
クーロン散乱の衝突径数と散乱角（大学物理原子核・素粒子）
三角関数の積分（数学III 積分法）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
ラーモアの公式と全放射電力（大学物理電磁波と電磁場）

説明

荷電粒子（典型的には電子）が原子核などのクーロン場のそばを通り過ぎると、力を受けて減速・偏向され、その加速度のために電磁波を放出します。これを制動放射といいます。非相対論的で偏向が小さい場合には、粒子は衝突径数 $b$ の直線上をほぼ一定の速さ $v$ で進むとみなせるので、各時刻の加速度をラーモアの公式に入れて時間積分すれば 1 回の衝突で出る全放射エネルギーが求まります。さらに加速度のフーリエ変換を考えると、スペクトルは衝突時間 $τ \sim b / v$ の逆数 $ω \sim v / b$ までほぼ平坦で、それより高い振動数では急に小さくなることがわかります。プラズマや X 線管からの放射の見積もりに使います。

なぜそうしてよいのか

【全放射エネルギー】電荷 $q$ 、質量 $m$ の粒子が、固定された電荷から $F = \frac{k}{r ^{2}}$ （ $k > 0$ は定数）の大きさのクーロン力を受けるとします。偏向角 $θ \approx \frac{k}{K b}$ （ $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ）が小さいときは軌道を直線 $r (t) = (v t, b)$ で近似でき（インパルス近似と同じ考え方）、距離は $r = b^{2} + v^{2} t^{2}$ です。加速度の大きさは $a = \frac{k}{m r ^{2}}$ なので、ラーモアの公式を時間で積分して $W = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} d t = \frac{q ^{2} k ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3} m ^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d t}{( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} ) ^{2}} .$ $v t = b tan φ$ と置換すると $\int \frac{d t}{( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} ) ^{2}} = \frac{1}{v b ^{3}} \int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} φ d φ = \frac{π}{2 v b ^{3}}$ となり、 $W = \frac{q ^{2} k ^{2}}{12 ε _{0} c ^{3} m ^{2} b ^{3} v}$ を得ます。放射は加速度の 2 乗で効くので、軽い粒子（電子）の放射が圧倒的に大きく、重い原子核の側の放射は無視できます。

【スペクトル】加速度のフーリエ変換を $a ~ (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} a (t) e^{iω t} d t$ とすると、逆変換を代入して $\int ∣ a ∣^{2} d t = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} ∣ a ~ (ω) ∣^{2} d ω$ （パーセバルの等式）が成り立ちます。 $a$ は実数なので $∣ a ~ (- ω) ∣ = ∣ a ~ (ω) ∣$ で、正の振動数だけで書くと $W = \int_{0}^{\infty} \frac{d W}{d ω} d ω, \frac{d W}{d ω} = \frac{q ^{2} ∣ a ~ ( ω ) ∣ ^{2}}{6 π ^{2} ε _{0} c ^{3}} .$ 加速度がはたらくのはおよそ衝突時間 $τ \sim b / v$ の間だけです。 $ω τ ≪ 1$ なら、その間 $e^{iω t} \approx 1$ なので $a ~ (ω) \approx \int a d t = Δ v$ （速度変化そのもの）となり、スペクトルは $ω$ によらず平坦です。インパルス近似では $∣Δ v ∣ = \frac{Δ p _{⊥}}{m} = \frac{2 k}{mb v}$ です。 $ω τ ≫ 1$ では $e^{iω t}$ が衝突の間に何度も振動して打ち消し合い、 $a ~$ は急に小さくなります。こうしてスペクトルの上限振動数は $ω_{m a x} \sim v / b$ と決まります。

手順

粒子の電荷 $q$ ・質量 $m$ ・速さ $v$ ・衝突径数 $b$ と、力の大きさ $F = k / r^{2}$ の定数 $k$ を確認し、偏向角 $\frac{k}{K b} ≪ 1$ 、 $v ≪ c$ を確かめて直線軌道 $r = b^{2} + v^{2} t^{2}$ で近似する。
加速度の大きさ $a (t) = \frac{k}{m ( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} )}$ を書く（向きによらず全成分を含める）。
ラーモアの公式を時間積分し、 $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d t}{( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} ) ^{2}} = \frac{π}{2 v b ^{3}}$ を使って $W = \frac{q ^{2} k ^{2}}{12 ε _{0} c ^{3} m ^{2} b ^{3} v}$ を求める。
スペクトルが必要なら $\frac{d W}{d ω} = \frac{q ^{2} ∣ a ~ ( ω ) ∣ ^{2}}{6 π ^{2} ε _{0} c ^{3}}$ （ $ω > 0$ ）を使い、低周波では $a ~ \approx Δ v$ , $∣Δ v ∣ = \frac{2 k}{mb v}$ で平坦な値を求める。
上限振動数を衝突時間 $τ \sim b / v$ から $ω_{m a x} \sim v / b$ と見積もり、平坦部の値 × $ω_{m a x}$ が全エネルギーと同じ程度になることを確かめる。

例題

SI 単位系で考える（電気素量 $e$ 、真空の誘電率 $ε_{0}$ 、光速 $c$ ）。質量 $m$ 、電荷 $- e$ の電子が、静止した電荷 $Z e$ の原子核のそばを、衝突径数 $b$ 、速さ $v$ （ $v ≪ c$ ）で通り過ぎる。偏向は十分小さく、電子は速さ $v$ のまま直線上を運動するとみなす。原子核の放射は無視して、1 回の通過で電子が放射する全エネルギー $W$ をラーモアの公式を用いて求め、 $Z, e, ε_{0}, c, m, b, v$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】クーロン力の大きさは $F = \frac{k}{r ^{2}}$ , $k = \frac{Z e ^{2}}{4 π ε _{0}}$ 。直線軌道で $r = b^{2} + v^{2} t^{2}$ 。

【手順 2】加速度の大きさは $a (t) = \frac{k}{m ( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} )}$ 。

【手順 3】ラーモアの公式（ $q^{2} = e^{2}$ ）を積分して $W = \frac{e ^{2} k ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3} m ^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d t}{( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} ) ^{2}} = \frac{e ^{2} k ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3} m ^{2}} \cdot \frac{π}{2 v b ^{3}} = \frac{e ^{2} k ^{2}}{12 ε _{0} c ^{3} m ^{2} b ^{3} v} .$ $k^{2} = \frac{Z ^{2} e ^{4}}{16 π ^{2} ε _{0}^{2}}$ を代入すると $W = \frac{Z ^{2} e ^{6}}{192 π ^{2} ε _{0}^{3} c ^{3} m ^{2} b ^{3} v} .$

【手順 4・5】（確認）低周波のスペクトルは $∣Δ v ∣ = \frac{2 k}{mb v}$ から $\frac{d W}{d ω} = \frac{2 e ^{2} k ^{2}}{3 π ^{2} ε _{0} c ^{3} m ^{2} b ^{2} v ^{2}}$ で、これに $ω_{m a x} = v / b$ を掛けると $\frac{2 e ^{2} k ^{2}}{3 π ^{2} ε _{0} c ^{3} m ^{2} b ^{3} v}$ 。上の $W$ との比は $\frac{8}{π ^{2}} \approx 0.8$ で、同じ程度になっている。

答え: $\frac{Z ^{2} e ^{6}}{192 π ^{2} ε _{0}^{3} c ^{3} m ^{2} b ^{3} v}$

よくある誤り

インパルス近似のくせで、加速度のうち軌道に垂直な成分 $a_{⊥} = \frac{k b}{m ( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} ) ^{3/2}}$ だけをラーモアの公式に入れてしまう誤り。平行成分は時間積分すると打ち消し合って速度変化には効かないが、放射は $a^{2}$ で効くので打ち消し合わない。正しくは $a^{2} = a_{⊥}^{2} + a_{∥}^{2} = \frac{k ^{2}}{m ^{2} ( b ^{2} + v ^{2} t ^{2} ) ^{2}}$ を使う（垂直成分だけだと全体の $\frac{3}{4}$ になる）。
低周波のスペクトルで正負の振動数の分を数え落とし、 $\frac{d W}{d ω} = \frac{q ^{2} ∣Δ v ∣ ^{2}}{12 π ^{2} ε _{0} c ^{3}}$ としてしまう誤り。 $\int ∣ a ∣^{2} d t = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} ∣ a ~ ∣^{2} d ω = \frac{1}{π} \int_{0}^{\infty} ∣ a ~ ∣^{2} d ω$ なので、正の振動数あたりでは正しくは $\frac{d W}{d ω} = \frac{q ^{2} ∣Δ v ∣ ^{2}}{6 π ^{2} ε _{0} c ^{3}}$ 。
上限振動数を光が $b$ を横切る時間から $ω_{m a x} \sim c / b$ としてしまう誤り。加速度がはたらくのは粒子が原子核のそばを通る時間 $τ \sim b / v$ なので、正しくは $ω_{m a x} \sim v / b$ 。
原子核と電子が同じ大きさの力を受けるので同じだけ放射すると考える誤り。加速度は $a = F / m$ なので放射パワーは $\frac{q ^{2} F ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3} m ^{2}}$ と質量の 2 乗に反比例し、原子核（質量 $M ≫ m$ ）の放射は電子の $\frac{Z ^{2} m ^{2}}{M ^{2}}$ 倍程度で無視できる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
真空中で、質量 $m$ 、電気量 $- e$ の電子が、静止した原子核（電気量 $Z e$ 、 $Z$ は正の整数）のそばを、衝突径数 $b$ 、速さ $v$ （ $v ≪ c$ ）で通過する。電子の軌道のずれと速さの変化は小さいとして、電子は直線 $r (t) = (v t, b, 0)$ （原子核は原点）に沿って一定の速さで運動するとみなす（直線軌道近似）。
このとき電子が受けるクーロン力による加速度を用いて、非相対論的なラーモアの公式
$P = \frac{e ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$
（ $a$ は加速度の大きさ）を $t = - \infty$ から $t = \infty$ まで積分し、1 回の通過で電子が放射する全エネルギー $W$ を、 $Z$ , $e$ , $ε_{0}$ , $c$ , $m$ , $b$ , $v$ で表せ。ここで $ε_{0}$ は真空の誘電率、 $c$ は真空中の光速で、SI 単位系を用いる。また、必要なら $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \frac{π}{2}$ を用いてよい。