発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）の問題

真空中で、電気量 $q$ の点電荷が $x$ 軸上を一定の速度 $\mathbf{v}=(v,0,0)$、$v=\frac{3}{5}c$ で運動しており、時刻 $t$ における位置は $\mathbf{w}(t)=(vt,0,0)$ である（$c$ は真空中の光速）。

観測点 $\mathrm{P}(0,d,0)$（$d>0$）における時刻 $t=0$ のスカラーポテンシャル $\varphi$ を、リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャル
$$\varphi (\mathbf{r},t)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{R(1-\mathbf{n}\cdot \mathbf{\beta })}{|}_{t_r}$$
を用いて、$q$, ${\epsilon }_0$, $d$ で表せ。ここで $t_r$ は遅延時刻 $c(t-t_r)=|\mathbf{r}-\mathbf{w}(t_r)|$ で定まり、$R=|\mathbf{r}-\mathbf{w}(t_r)|$、$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{w}(t_r)}{R}$、$\mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{v}}{c}$ である。${\epsilon }_0$ は真空の誘電率で、SI 単位系を用いる。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷が $z$ 軸上を正の向きに運動しており、ある瞬間の速度は $\mathbf{v}=\beta c\hat{\mathbf{z}}$、$\beta =\frac{2}{3}$ で、加速度は速度と同じ向き（$\dot{\mathbf{\beta }}\parallel \mathbf{\beta }$、$\dot{\mathbf{\beta }}\ne 0$）である（$c$ は真空中の光速）。この瞬間に粒子が単位時間（粒子の時刻 $t^{\prime }$ あたり）に単位立体角へ放射するパワーは
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\frac{|\mathbf{n}\times ((\mathbf{n}-\mathbf{\beta })\times \dot{\mathbf{\beta }}){|}^2}{(1-\mathbf{n}\cdot \mathbf{\beta }{)}^5}$$
で与えられる。ここで $\mathbf{n}$ は放射の向きの単位ベクトル、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

$\mathbf{n}$ と $z$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とする。$\theta =\frac{\pi }{3}$ の向き（前方寄り）での $\frac{dP}{d\Omega }$ を $\theta =\frac{2\pi }{3}$ の向き（後方寄り）での $\frac{dP}{d\Omega }$ で割った比を、整数で求めよ。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷について次の 2 つの運動を考える（$c$ は真空中の光速）。速さと加速度は、どちらも観測者の慣性系で測ったものとする（加速度は観測者の慣性系での速度の時間微分 $\frac{d\mathbf{v}}{dt}$ であり、固有加速度ではない）。

• 運動 A: 直線上を加速しており、ある瞬間の速さが $v=\frac{4}{5}c$、加速度の向きは速度と同じ向きで、その大きさが $a$ である。
• 運動 B: 一定の速さ $v=\frac{4}{5}c$ で等速円運動しており、加速度（向心加速度）の大きさが $a$ である。

全放射パワーはリエナールの公式
$$P=\frac{q^2{\gamma }^6}{6\pi {\epsilon }_{0}c}\left[{\dot{\mathbf{\beta }}}^2-(\mathbf{\beta }\times \dot{\mathbf{\beta }}{)}^2\right],\mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{v}}{c},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$$
で与えられる（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、ドットは観測者の慣性系での時間微分）。上の瞬間における運動 A の全放射パワー $P_{\mathrm{A}}$ と運動 B の全放射パワー $P_{\mathrm{B}}$ の比 $\frac{P_{\mathrm{A}}}{P_{\mathrm{B}}}$ を、既約分数で求めよ。

真空中に、大きさ $m_0$ の一定の磁気双極子モーメント $\mathbf{m}(t)$ をもつ小さな磁石がある。磁石は $z$ 軸のまわりに一定の角速度 $\omega >0$ で回転しており、$\mathbf{m}$ は $z$ 軸と常に角 $\frac{\pi }{6}$ をなしたまま、$z$ 軸のまわりを角速度 $\omega$ で回る。すなわち
$$\mathbf{m}(t)=m_0\left(\sin \frac{\pi }{6}\cos \omega t,\sin \frac{\pi }{6}\sin \omega t,\cos \frac{\pi }{6}\right)$$
である。磁石の大きさは放射される電磁波の波長に比べて十分小さく、放射は磁気双極子放射だけを考えればよいとする。

磁気双極子モーメント $\mathbf{m}(t)$ の全放射パワーが
$$P=\frac{{\mu }_0|\ddot{\mathbf{m}}{|}^2}{6\pi c^3}$$
で与えられるとき、この磁石が放射する全パワー $P$ を、${\mu }_0$, $m_0$, $\omega$, $c$ で表せ。ただし ${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速で、SI 単位系を用いる。

真空中の慣性系 $S$ において、空間的に一様で時間変化しない電場と磁場
$$\mathbf{E}=\left(0,\frac{3}{5}c{B}_0,0\right),\mathbf{B}=(0,0,B_0)$$
がある（$B_0>0$ は定数、$c$ は真空中の光速、SI 単位系）。

この電磁場について、電場が $0$ になる慣性系 $S^{\prime }$ が存在する。電磁場の不変量 ${\mathbf{B}}^2-\frac{{\mathbf{E}}^2}{c^2}$ と $\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$ を用いて、系 $S^{\prime }$ における磁場の大きさ $|{\mathbf{B}}^{\prime }|$ を $B_0$ で表せ。