ラーモアの公式と全放射電力

角度分布を全立体角で積分して、加速度 $a$ の点電荷の全放射電力 $P = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ や振動双極子の平均放射電力を求められる

前提

電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）

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熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）

説明

加速度をもつ電荷は電磁波を放射してエネルギーを失います。この技能では、各方向への放射電力（角度分布）を全立体角で積分して、全放射電力を求めます。とくに、速さが光速よりずっと小さい点電荷 $q$ が加速度 $a$ で運動するときの全放射電力 $P = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ （ラーモアの公式）と、振動する双極子の平均放射電力を導いて使います。円運動する電子のエネルギー損失や、アンテナの放射電力の見積もりに使います。

なぜそうしてよいのか

電気双極子放射の角度分布は $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$ です。ある瞬間の $p ¨$ の向きを極軸（ $θ = 0$ ）にとると $∣ n \times p ¨ ∣^{2} = ∣ p ¨ ∣^{2} sin^{2} θ$ です。全方向に出る電力は、半径 $r$ の球面全体で足し合わせたもので、立体角要素 $d Ω = sin θ d θ d φ$ （球面上の面積要素 $r^{2} sin θ d θ d φ$ を $r^{2}$ で割ったもの）で積分します。
$\int sin^{2} θ d Ω = \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ = 2 π \cdot \frac{4}{3} = \frac{8 π}{3}$
（ $sin^{3} θ = sin θ (1 - cos^{2} θ)$ として $u = cos θ$ と置換すると $\int_{- 1}^{1} (1 - u^{2}) d u = \frac{4}{3}$ ）。したがって、どんな $p ¨$ でもその瞬間の全放射電力は
$P = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ p ¨ ∣^{2} \cdot \frac{8 π}{3} = \frac{μ _{0} ∣ p ¨ ∣ ^{2}}{6 π c}$
です。

点電荷 $q$ が位置 $r (t)$ にあるとき、原点に対する双極子モーメントは $p = q r$ なので $p ¨ = q a$ です。これを代入し $μ_{0} = \frac{1}{ε _{0} c ^{2}}$ を使うと、ラーモアの公式
$P = \frac{μ _{0} q ^{2} a ^{2}}{6 π c} = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$
が得られます。放射電力は速度ではなく加速度の 2 乗で決まり、等速で動く電荷は放射しません（双極子放射の式を使っているので、電荷の速さが $c$ よりずっと小さい場合に成り立ちます）。 $p = p_{0} cos ω t z^$ と振動する双極子では $∣ p ¨ ∣^{2} = ω^{4} p_{0}^{2} cos^{2} ω t$ で、時間平均 $\frac{1}{2}$ をとって $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c} = \frac{p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π ε _{0} c ^{3}}$ となります。

手順

放射源の双極子モーメント $p (t)$ を書く（点電荷なら $p = q r$ ）
$p ¨$ を求め、その大きさの 2 乗 $∣ p ¨ ∣^{2}$ を計算する（点電荷なら $q^{2} a^{2}$ ）
角度分布 $\frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ p ¨ ∣^{2} sin^{2} θ$ を $\int sin^{2} θ d Ω = \frac{8 π}{3}$ で全立体角積分し、 $P = \frac{μ _{0} ∣ p ¨ ∣ ^{2}}{6 π c} = \frac{∣ p ¨ ∣ ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ を得る
振動する場合は時間平均をとる（ $⟨ cos^{2} ω t ⟩ = \frac{1}{2}$ ）

例題

電荷 $q$ の粒子が、真空中で半径 $R$ の円周上を一定の角速度 $ω$ で等速円運動している。粒子の速さは光速 $c$ よりずっと小さいとし、全放射電力は $P = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ （ $a$ は加速度の大きさ、 $ε_{0}$ は真空の誘電率）で与えられるとする。この粒子の全放射電力 $P$ を $q, R, ω, ε_{0}, c$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: 円の中心を原点とすると $p = q r = q R (cos ω t, sin ω t, 0)$ 。

手順 2: $p ¨ = - q R ω^{2} (cos ω t, sin ω t, 0)$ なので、加速度の大きさは $a = R ω^{2}$ （向心加速度）で一定、 $∣ p ¨ ∣^{2} = q^{2} R^{2} ω^{4}$ 。

手順 3: 全立体角で積分した結果（ラーモアの公式）に代入して
$P = \frac{q ^{2} ( R ω ^{2} ) ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} = \frac{q ^{2} R ^{2} ω ^{4}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$

手順 4: $a$ の大きさは時間によらないので、時間平均しても同じ値である。

答え: $\frac{q ^{2} R ^{2} ω ^{4}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$

よくある誤り

全立体角の積分で $\int sin^{2} θ d Ω$ を $sin θ$ を掛け忘れて $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} sin^{2} θ d θ d φ = π^{2}$ としてしまう誤り。立体角要素は $d Ω = sin θ d θ d φ$ なので、正しくは $\int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ \cdot 2 π = \frac{8 π}{3}$ 。
放射電力が速さ $v$ で決まると考え、等速円運動では放射しないとしてしまう誤り。放射を決めるのは加速度で、等速円運動でも $a = R ω^{2} = \frac{v ^{2}}{R}$ の向心加速度があるので $P = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ の放射がある。
振動する双極子の平均放射電力で時間平均を忘れ $\frac{p _{0}^{2} ω ^{4}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ としてしまう誤り。 $⟨ cos^{2} ω t ⟩ = \frac{1}{2}$ なので、正しくは $⟨ P ⟩ = \frac{p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π ε _{0} c ^{3}}$ 。一方、等速円運動のように $∣ p ¨ ∣$ が一定なら平均で $\frac{1}{2}$ はつかない。
$μ_{0}$ を $ε_{0}$ に書きかえるときに $μ_{0} = \frac{1}{ε _{0} c}$ などとして $c$ のべきを誤る誤り。 $c^{2} = \frac{1}{ε _{0} μ _{0}}$ より $μ_{0} = \frac{1}{ε _{0} c ^{2}}$ で、 $\frac{μ _{0} q ^{2} a ^{2}}{6 π c} = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中の原点に、 $z$ 軸方向を向いた電気双極子モーメント
$p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}$
をもつ振動双極子がある（ $p_{0} > 0$ , $ω > 0$ は定数）。十分遠方（放射ゾーン）で、単位ベクトル $n$ の向き（ $z$ 軸とのなす角 $θ$ ）へ単位立体角あたりに放射される電力は
$\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} ∣ n \times p ¨ ∣^{2}$
で与えられる。ここで $μ_{0}$ は真空の透磁率、 $c$ は真空中の光速である。この双極子が全方向へ放射する電力の時間平均 $⟨ P ⟩$ を、 $μ_{0}$ , $p_{0}$ , $ω$ , $c$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

リエナールの公式（相対論的な全放射パワー）（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
制動放射（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
相対論的な荷電粒子の放射の角度分布（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））