リエナールの公式（相対論的な全放射パワー）

$P = \frac{q ^{2} γ ^{6}}{6 π ε _{0} c} [β ˙^{2} - (β \times β ˙)^{2}]$ を用いて、直線加速と円運動での全放射パワーとその比を求められる

前提

ラーモアの公式と全放射電力（大学物理電磁波と電磁場）
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）

この技能までの道筋（172 技能）

算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
ラーモアの公式と全放射電力（大学物理電磁波と電磁場）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）
電流が磁場から受ける力（フレミングの左手の法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
ローレンツ力（高校物理電磁気と交流（知識））
陰極線と電気素量（高校物理原子（知識））
ラザフォードの原子模型（高校物理原子（知識））
原子核の構成と核力（高校物理原子（知識））
質量とエネルギーの等価性と結合エネルギー（高校物理原子（知識））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）

説明

ラーモアの公式 $P = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ は電荷の速さが光速より十分小さいときにしか使えません。光速に近い荷電粒子が単位時間に放射する全エネルギーは、リエナールの公式 $P = \frac{q ^{2} γ ^{6}}{6 π ε _{0} c} [β ˙^{2} - (β \times β ˙)^{2}] (β = \frac{v}{c}, β ˙ = \frac{a}{c}, γ = \frac{1}{1 - β ^{2}})$ で与えられます。これを加速度の速度に平行な成分と垂直な成分に分けると $P = \frac{q ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} (γ^{6} a_{∥}^{2} + γ^{4} a_{⊥}^{2})$ となり、線形加速器（直線加速）と円形加速器（円運動・シンクロトロン放射）での放射損失を比べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

【全放射パワーはどの慣性系でも同じ】ある瞬間に電荷とともに動く慣性系（瞬間静止系）では電荷は静止しているので、ラーモアの公式がそのまま使えます： $P^{'} = \frac{q ^{2} a ^{'2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ 。瞬間静止系での放射は前後対称（双極子放射の角度分布 $\propto sin^{2} θ$ は $θ \to π - θ$ で不変）なので、時間 $d t^{'}$ に放出される電磁波の運動量の合計は 0 です。エネルギー $d E^{'}$ 、運動量 $0$ を実験室系にローレンツ変換するとエネルギーは $d E = γ d E^{'}$ 。一方、電荷の時計で測った $d t^{'}$ は実験室系では $d t = γ d t^{'}$ （時間の遅れ）。したがって $P = d E / d t = d E^{'} / d t^{'} = P^{'}$ で、全放射パワーは系によらない量です。

【瞬間静止系の加速度を実験室系の量で書く】電荷の速度を $v = v x^$ とし、 $x$ 方向に速さ $v$ で動く系への速度の合成則 $u_{x}^{'} = \frac{u _{x} - v}{1 - u _{x} v / c ^{2}}$ , $u_{y}^{'} = \frac{u _{y}}{γ ( 1 - u _{x} v / c ^{2} )}$ と $d t^{'} = γ d t (1 - u_{x} v / c^{2})$ を使います。 $u_{x} = v$ , $u_{y} = 0$ の瞬間に微分すると $d u_{x}^{'} = γ^{2} d u_{x}$ , $d u_{y}^{'} = γ d u_{y}$ , $d t^{'} = d t / γ$ なので $a_{∥}^{'} = γ^{3} a_{∥}, a_{⊥}^{'} = γ^{2} a_{⊥} .$ これをラーモアの公式に入れると $P = \frac{q ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} (γ^{6} a_{∥}^{2} + γ^{4} a_{⊥}^{2}) .$ $β ˙^{2} - (β \times β ˙)^{2} = β ˙_{∥}^{2} + β ˙_{⊥}^{2} - β^{2} β ˙_{⊥}^{2} = β ˙_{∥}^{2} + β ˙_{⊥}^{2} / γ^{2}$ なので、これはリエナールの公式そのものです。

【力で比べる】同じ大きさの力 $F = ∣ d p / d t ∣$ をかけた場合を比べるには、 $p = γ m v$ から加速度を出します。直線運動では $\frac{d}{d v} (γ m v) = γ^{3} m$ なので $F = γ^{3} m a_{∥}$ 。円運動では速さ（したがって $γ$ ）が一定なので $F = γ m a_{⊥}$ 。これらを代入すると $P_{直線} = \frac{q ^{2} F ^{2}}{6 π ε _{0} m ^{2} c ^{3}}$ （ $γ$ によらない）、 $P_{円} = γ^{2} \frac{q ^{2} F ^{2}}{6 π ε _{0} m ^{2} c ^{3}}$ となり、高エネルギーでは円運動の放射損失が圧倒的に大きくなります。

手順

粒子の速さから $β = v / c$ と $γ = 1/ 1 - β^{2}$ を求める（エネルギー $E$ が与えられたら $γ = E / m c^{2}$ ）。
実験室系の加速度 $a$ を速度に平行な成分 $a_{∥}$ と垂直な成分 $a_{⊥}$ に分ける（直線加速なら $a_{⊥} = 0$ 、等速円運動なら $a_{∥} = 0$ , $a_{⊥} = v^{2} / r$ ）。
力が与えられているときは、直線運動で $F = γ^{3} m a_{∥}$ 、円運動で $F = γ m a_{⊥}$ から加速度に直す。
$P = \frac{q ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} (γ^{6} a_{∥}^{2} + γ^{4} a_{⊥}^{2})$ （ $= \frac{q ^{2} γ ^{6}}{6 π ε _{0} c} [β ˙^{2} - (β \times β ˙)^{2}]$ ）に代入する。
比を求めるときは共通因子 $\frac{q ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ を約分し、 $γ \to 1$ でラーモアの公式に戻ることを確かめる。

例題

SI 単位系で考える（真空の誘電率 $ε_{0}$ 、光速 $c$ ）。質量 $m$ 、電荷 $q$ の粒子が、ローレンツ因子 $γ$ の瞬間に、運動量の時間変化の大きさ $F = \frac{d p}{d t}$ が同じ力を受けている。(i) 力が速度と平行で粒子が直線上を加速される場合の全放射パワーを $P_{∥}$ 、(ii) 力が速度と垂直で粒子が等速円運動をしている場合の全放射パワーを $P_{⊥}$ とする。リエナールの公式を用いて、比 $P_{⊥} / P_{∥}$ を $γ$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】ローレンツ因子は $γ$ で与えられている。

【手順 2】(i) は $a_{⊥} = 0$ 、(ii) は $a_{∥} = 0$ 。

【手順 3】(i) 直線運動では $p = γ m v$ を $v$ で微分して $\frac{d p}{d v} = m (γ + v \frac{d γ}{d v}) = m (γ + γ^{3} β^{2}) = γ^{3} m$ なので $F = γ^{3} m a_{∥}$ 、すなわち $a_{∥} = \frac{F}{γ ^{3} m}$ 。(ii) 等速円運動では $γ$ が一定なので $\frac{d p}{d t} = γ m ∣ a ∣$ 、すなわち $a_{⊥} = \frac{F}{γ m}$ 。

【手順 4】 $P_{∥} = \frac{q ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} γ^{6} \frac{F ^{2}}{γ ^{6} m ^{2}} = \frac{q ^{2} F ^{2}}{6 π ε _{0} m ^{2} c ^{3}}, P_{⊥} = \frac{q ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} γ^{4} \frac{F ^{2}}{γ ^{2} m ^{2}} = γ^{2} \frac{q ^{2} F ^{2}}{6 π ε _{0} m ^{2} c ^{3}} .$

【手順 5】比は $P_{⊥} / P_{∥} = γ^{2}$ 。 $γ \to 1$ では比が 1 となり、ラーモアの公式（加速度の向きによらない）と合う。

答え: $γ^{2}$

よくある誤り

実験室系の加速度をそのままラーモアの公式に入れ $P = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ としてしまう誤り。光速に近い粒子では、正しくは $P = \frac{q ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} (γ^{6} a_{∥}^{2} + γ^{4} a_{⊥}^{2})$ で、瞬間静止系の加速度 $a_{∥}^{'} = γ^{3} a_{∥}$ , $a_{⊥}^{'} = γ^{2} a_{⊥}$ を使ったことに当たる。
$γ$ のべきを平行・垂直で取り違え $γ^{4} a_{∥}^{2} + γ^{6} a_{⊥}^{2}$ としてしまう誤り。 $β ˙^{2} - (β \times β ˙)^{2} = β ˙_{∥}^{2} + β ˙_{⊥}^{2} / γ^{2}$ に $γ^{6}$ を掛けるので、正しくは平行成分が $γ^{6}$ 、垂直成分が $γ^{4}$ 。
「同じ加速度」と「同じ力」を混同する誤り。加速度の大きさ $a$ が同じなら $P_{∥} / P_{⊥} = γ^{6} / γ^{4} = γ^{2}$ で直線加速のほうが大きいが、力の大きさ $F$ が同じなら $F = γ^{3} m a_{∥}$ , $F = γ m a_{⊥}$ を経て $P_{⊥} / P_{∥} = γ^{2}$ で円運動のほうが大きい。問われている条件を確かめる。
直線運動で $F = γ ma$ としてしまう誤り。速さが変わると $γ$ も変わるので、正しくは $\frac{d}{d t} (γ m v) = γ^{3} m \frac{d v}{d t}$ で $F = γ^{3} m a_{∥}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
真空中で、電気量 $q$ の点電荷について次の 2 つの運動を考える（ $c$ は真空中の光速）。速さと加速度は、どちらも観測者の慣性系で測ったものとする（加速度は観測者の慣性系での速度の時間微分 $\frac{d v}{d t}$ であり、固有加速度ではない）。
- 運動 A: 直線上を加速しており、ある瞬間の速さが $v = \frac{4}{5} c$ 、加速度の向きは速度と同じ向きで、その大きさが $a$ である。
- 運動 B: 一定の速さ $v = \frac{4}{5} c$ で等速円運動しており、加速度（向心加速度）の大きさが $a$ である。
全放射パワーはリエナールの公式
$P = \frac{q ^{2} γ ^{6}}{6 π ε _{0} c} [β ˙^{2} - (β \times β ˙)^{2}], β = \frac{v}{c}, γ = \frac{1}{1 - β ^{2}}$
で与えられる（ $ε_{0}$ は真空の誘電率、ドットは観測者の慣性系での時間微分）。上の瞬間における運動 A の全放射パワー $P_{A}$ と運動 B の全放射パワー $P_{B}$ の比 $\frac{P _{A}}{P _{B}}$ を、既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
真空中で、電荷 $q$ の点電荷が $x$ 軸上を直線運動している。ある時刻 $t^{'}$ （粒子の時刻、すなわち遅延時刻）において、粒子の速さは $v = \frac{c}{2}$ （ $c$ は真空中の光速）であり、加速度の大きさは $a (> 0)$ で、その向きは速度と同じ向きである。真空の誘電率を $ε_{0}$ とし、SI 単位系を用いる。
リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルから得られる放射場（距離 $R$ に反比例する部分）を用いて、粒子が時刻 $t^{'}$ から $t^{'} + d t^{'}$ の間（ $d t^{'}$ は微小）に放出する放射エネルギーを考える。このエネルギーは粒子から十分遠い球面を通って外へ流れ出る。そのうち、放射の向きを表す単位ベクトル $n$ と粒子の速度とのなす角 $θ$ が $0 \leq θ < \frac{π}{2}$ を満たす向き（前方半球）へ放出される割合を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この技能の次に学べること

シンクロトロン放射（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））