シンクロトロン放射

円運動する高エネルギー粒子について、ビーミングの角度幅 $\sim 1/ γ$ 、臨界振動数 $ω_{c} = \frac{3}{2} γ^{3} c / ρ$ 、1 周あたりのエネルギー損失を求められる

前提

リエナールの公式（相対論的な全放射パワー）（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
相対論的な荷電粒子の放射の角度分布（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））

この技能までの道筋（176 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
ラーモアの公式と全放射電力（大学物理電磁波と電磁場）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
時間の遅れと固有時（大学物理特殊相対論）
電流が磁場から受ける力（フレミングの左手の法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
仕事の定義と正・負・0 （高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
ローレンツ力（高校物理電磁気と交流（知識））
陰極線と電気素量（高校物理原子（知識））
ラザフォードの原子模型（高校物理原子（知識））
原子核の構成と核力（高校物理原子（知識））
質量とエネルギーの等価性と結合エネルギー（高校物理原子（知識））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
相対論的エネルギーと運動量（大学物理特殊相対論）
リエナールの公式（相対論的な全放射パワー）（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルと場（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
相対論的な荷電粒子の放射の角度分布（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））

説明

磁場の中で円運動する高エネルギー（ $γ ≫ 1$ ）の荷電粒子が出す放射をシンクロトロン放射といいます。この技能では、(1) 放射が進行方向の幅 $\sim 1/ γ$ の細い円錐に集中すること（ビーミング）、(2) 観測者には短いパルスとして届くため、スペクトルが臨界振動数 $ω_{c} = \frac{3}{2} γ^{3} \frac{c}{ρ}$ （ $ρ$ は軌道半径）付近まで伸びること、(3) 1 周あたりに失うエネルギー $Δ E = \frac{q ^{2} β ^{3} γ ^{4}}{3 ε _{0} ρ}$ を求めます。電子の円形加速器（放射光施設）の設計や、天体のジェット・パルサーからの電波・X 線の解釈で使います。

なぜそうしてよいのか

全放射パワーと 1 周の損失：円運動では速度と加速度が垂直なので $∣ β \times β ˙ ∣ = β β ˙$ 、リエナールの公式の角括弧は $β ˙^{2} (1 - β^{2}) = β ˙^{2} / γ^{2}$ です。向心加速度から $β ˙ = \frac{v ^{2}}{ρ c} = \frac{β ^{2} c}{ρ}$ なので
$P = \frac{q ^{2} γ ^{4}}{6 π ε _{0} c} \cdot \frac{β ^{4} c ^{2}}{ρ ^{2}} = \frac{q ^{2} c β ^{4} γ ^{4}}{6 π ε _{0} ρ ^{2}} .$
1 周の時間 $T = \frac{2 π ρ}{β c}$ を掛けると $Δ E = P T = \frac{q ^{2} β ^{3} γ ^{4}}{3 ε _{0} ρ}$ 。 $γ = \frac{E}{m c ^{2}}$ なので同じエネルギーでも質量の小さい電子ほど $m^{- 4}$ で激しく失います（ここで $P$ も $T$ も実験室系の時刻で数えています）。

ビーミング：角度分布の分母 $(1 - n \cdot β)^{5}$ で、速度と $n$ のなす角 $θ$ が小さいとき $1 - β cos θ \approx (1 - β) + \frac{θ ^{2}}{2} \approx \frac{1}{2} (\frac{1}{γ ^{2}} + θ^{2})$ （ $1 - β \approx \frac{1}{2 γ ^{2}}$ を使用）です。この量は $θ ≲ 1/ γ$ では小さく、 $θ ≫ 1/ γ$ では急に大きくなるので、放射は速度方向の半頂角 $\sim 1/ γ$ の円錐に集中します。

臨界振動数：粒子が円を回ると、この細い円錐が灯台の光のように回転し、観測者は円錐が自分を横切る間だけ光を受けます。軌道上で向きが $\sim 2/ γ$ 変わる間、つまり粒子の時間 $Δ t_{r} \approx \frac{2 ρ}{γ c}$ の間に出た光です。粒子は観測者に向かってほぼ光速で進んでいるので、到着時間の幅は $(1 - β)$ 倍に縮み、 $Δ t \approx \frac{1}{2 γ ^{2}} \cdot \frac{2 ρ}{γ c} = \frac{ρ}{γ ^{3} c}$ です。幅 $Δ t$ のパルスは $1/Δ t$ 程度までの振動数成分を含むので、スペクトルは回転の角振動数 $ω_{0} = \frac{β c}{ρ}$ の $γ^{3}$ 倍程度まで伸びます。正確な計算で現れる慣例の定義が $ω_{c} = \frac{3}{2} γ^{3} \frac{c}{ρ}$ で、放射のエネルギーの大部分は $ω ≲ ω_{c}$ に入ります。

手順

粒子のエネルギー $E$ からローレンツ因子 $γ = \frac{E}{m c ^{2}}$ と $β = 1 - 1/ γ^{2}$ を求め、軌道半径 $ρ$ を確認する（磁場で決まるときは $ρ = \frac{γ m β c}{∣ q ∣ B}$ ）
ビーミングの角度幅は $\sim \frac{1}{γ}$ とする
臨界角振動数を $ω_{c} = \frac{3}{2} γ^{3} \frac{c}{ρ}$ で求める（光子のエネルギーなら $ℏ ω_{c}$ ）
全放射パワーを $P = \frac{q ^{2} c β ^{4} γ ^{4}}{6 π ε _{0} ρ ^{2}}$ で求める
1 周の時間 $T = \frac{2 π ρ}{β c}$ を掛けて、1 周あたりのエネルギー損失 $Δ E = \frac{q ^{2} β ^{3} γ ^{4}}{3 ε _{0} ρ}$ を求める（ $γ ≫ 1$ なら $β^{3} \approx 1$ ）

例題

電荷 $e$ （電気素量）の電子が、ローレンツ因子 $γ ≫ 1$ で半径 $ρ$ の円軌道を一定の速さで回っている（SI 単位系、真空の誘電率 $ε_{0}$ 、 $β \approx 1$ と近似してよい）。シンクロトロン放射によって電子が 1 周あたりに失うエネルギー $Δ E$ を、 $e, ε_{0}, γ, ρ$ を用いて求めよ。

例題の解答

（手順 1） $γ ≫ 1$ なので $β \approx 1$ 、軌道半径は $ρ$ 。

（手順 4）円運動では $β ⊥ β ˙$ 、 $β ˙ = \frac{β ^{2} c}{ρ}$ で、リエナールの公式の角括弧は $β ˙^{2} - β^{2} β ˙^{2} = \frac{β ˙ ^{2}}{γ ^{2}}$ 。よって
$P = \frac{e ^{2} γ ^{6}}{6 π ε _{0} c} \cdot \frac{1}{γ ^{2}} \cdot \frac{β ^{4} c ^{2}}{ρ ^{2}} = \frac{e ^{2} c β ^{4} γ ^{4}}{6 π ε _{0} ρ ^{2}} .$

（手順 5）1 周の時間 $T = \frac{2 π ρ}{β c}$ を掛けて
$Δ E = P T = \frac{e ^{2} c β ^{4} γ ^{4}}{6 π ε _{0} ρ ^{2}} \cdot \frac{2 π ρ}{β c} = \frac{e ^{2} β ^{3} γ ^{4}}{3 ε _{0} ρ} \approx \frac{e ^{2} γ ^{4}}{3 ε _{0} ρ} .$
$γ$ の 4 乗に比例するので、同じ半径でエネルギーを 2 倍にすると損失は 16 倍になる。

答え: $\frac{e ^{2} γ ^{4}}{3 ε _{0} ρ}$

よくある誤り

円運動にも直線加速と同じ $P \propto γ^{6} β ˙^{2}$ を使ってしまう誤り。円運動では $(β \times β ˙)^{2} = β^{2} β ˙^{2}$ が引かれて角括弧が $β ˙^{2} / γ^{2}$ になり、 $P = \frac{q ^{2} γ ^{4} β ˙ ^{2}}{6 π ε _{0} c}$ （ $γ^{4}$ ）となる。
臨界振動数を回転の角振動数 $\frac{c}{ρ}$ の $γ$ 倍や $γ^{2}$ 倍と見積もってしまう誤り。円錐の幅 $1/ γ$ で放射時間が $\frac{ρ}{γ c}$ 程度になり、さらに粒子が光を追いかける効果で到着時間が $(1 - β) \approx \frac{1}{2 γ ^{2}}$ 倍に縮むので、 $ω_{c} \sim γ^{3} \frac{c}{ρ}$ （正確な定義は $\frac{3}{2} γ^{3} \frac{c}{ρ}$ ）になる。
1 周の損失を $Δ E = P \cdot \frac{2 π ρ}{c} \cdot γ$ のように、時間の遅れの因子 $γ$ を掛けてしまう誤り。リエナールの公式の $P$ も周期 $T = \frac{2 π ρ}{β c}$ も実験室系の時間で測ったものなので、そのまま $Δ E = P T$ とする。
加速度 $β ˙$ を $\frac{c}{ρ}$ や $\frac{γ c}{ρ}$ としてしまう誤り。 $β ˙ = \frac{1}{c} \frac{d v}{d t}$ で、等速円運動の向心加速度 $\frac{v ^{2}}{ρ}$ から $β ˙ = \frac{β ^{2} c}{ρ}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
ローレンツ因子 $γ = 1000$ の電子が、一様な磁場の中で半径 $ρ$ の円軌道を一定の速さで回っている。電子の速さは光速 $c$ にほぼ等しいとみなし（ $β \approx 1$ ）、周回の角振動数を $ω_{0} = \frac{c}{ρ}$ とする。
この電子が出すシンクロトロン放射の臨界振動数を $ω_{c} = \frac{3}{2} γ^{3} \frac{c}{ρ}$ と定義するとき、比 $\frac{ω _{c}}{ω _{0}}$ の値を整数で求めよ。