相対論的な荷電粒子の放射の角度分布

放射場から、粒子の時刻あたりの角度分布 $\frac{d P}{d Ω} \propto \frac{∣ n \times (( n - β ) \times β ˙ ) ∣ ^{2}}{( 1 - n \cdot β ) ^{5}}$ を求め、加速度が速度に平行な場合のローブの向きや前方へ放出される割合を計算できる

前提

リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルと場（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
ラーモアの公式と全放射電力（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）
リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルと場（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
ラーモアの公式と全放射電力（大学物理電磁波と電磁場）

説明

光速に近い速さで動く荷電粒子が加速されると、放射は粒子の進む向きへ強く集中します。この技能では、リエナール・ヴィーヘルトの放射場から、粒子の時刻（遅延時刻）あたり・単位立体角あたりの放射電力
$\frac{d P}{d Ω} = \frac{q ^{2}}{16 π ^{2} ε _{0} c} \frac{∣ n \times (( n - β ) \times β ˙ ) ∣ ^{2}}{( 1 - n \cdot β ) ^{5}}$
を求め、とくに加速度が速度に平行な場合（直線加速器や制動放射）について、放射が最も強い向き（ローブの向き）や、前方の半球などある角度範囲に出る放射の割合を計算します。

なぜそうしてよいのか

放射場（ $1/ R$ に比例する部分）は $E_{rad} = \frac{q}{4 π ε _{0} c} \frac{n \times (( n - β ) \times β ˙ )}{( 1 - n \cdot β ) ^{3} R}$ （右辺は遅延時刻 $t_{r}$ で評価、 $β ˙ = d β / d t_{r}$ ）で、 $B_{rad} = n \times E_{rad} / c$ です。ポインティングベクトルの大きさは $S = ε_{0} c ∣ E_{rad} ∣^{2}$ で、 $R^{2} S$ は観測者の時刻 $t$ あたり・単位立体角あたりに届くエネルギーです。ところが粒子が観測者の方へ動いていると、粒子の時間 $d t_{r}$ の間に出た放射は、より短い時間 $d t = (1 - n \cdot β) d t_{r}$ の間に届きます（遅延時刻の関係 $t = t_{r} + R (t_{r}) / c$ を微分すると得られます）。粒子が失うエネルギーを数えたいので、粒子の時刻あたりに直すと $\frac{d P}{d Ω} = R^{2} S \frac{d t}{d t _{r}} = R^{2} S (1 - n \cdot β)$ となり、分母の $(1 - n \cdot β)^{6}$ が $5$ 乗に下がって上の式になります。

加速度が速度に平行（ $β \times β ˙ = 0$ ）なら、 $n \times ((n - β) \times β ˙) = n \times (n \times β ˙)$ で、その大きさは $β ˙ sin θ$ （ $θ$ は $n$ と速度のなす角）です。 $β ˙ = a / c$ を入れると
$\frac{d P}{d Ω} = \frac{q ^{2} a ^{2}}{16 π ^{2} ε _{0} c ^{3}} \frac{sin ^{2} θ}{( 1 - β cos θ ) ^{5}} .$
$β \to 0$ ではラーモアの $sin^{2} θ$ 分布に戻りますが、 $β$ が大きいと分母が前方（ $cos θ \to 1$ ）で小さくなり、真横を向いていたドーナツ形のローブが前に倒れます。ただし真正面 $θ = 0$ では $sin θ = 0$ なので放射は 0 のままです。

ローブの向きは $x = cos θ$ として $f (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 - β x ) ^{5}}$ を最大にする $x$ で、 $f^{'} (x) = 0$ から $3 β x^{2} + 2 x - 5 β = 0$ 、すなわち $cos θ_{m a x} = \frac{1 + 15 β ^{2} - 1}{3 β}$ です。ある角度範囲の電力は $d Ω = 2 π sin θ d θ$ と $u = cos θ$ で $\int \frac{1 - u ^{2}}{( 1 - β u ) ^{5}} d u$ の形になり、全立体角では $\int_{- 1}^{1} \frac{1 - u ^{2}}{( 1 - β u ) ^{5}} d u = \frac{4}{3} γ^{6}$ （ $γ = 1/ 1 - β^{2}$ ）、全電力は $P = \frac{q ^{2} a ^{2} γ ^{6}}{6 π ε _{0} c ^{3}}$ です。

手順

速度 $β$ の向きを軸にとり、観測方向 $n$ とのなす角を $θ$ とする。加速度が速度に平行なら $∣ n \times ((n - β) \times β ˙) ∣^{2} = β ˙^{2} sin^{2} θ$ を使って $\frac{d P}{d Ω} = \frac{q ^{2} a ^{2}}{16 π ^{2} ε _{0} c ^{3}} \frac{sin ^{2} θ}{( 1 - β cos θ ) ^{5}}$ と書く
ローブの向きが要るときは、 $x = cos θ$ として $\frac{1 - x ^{2}}{( 1 - β x ) ^{5}}$ を微分し、 $3 β x^{2} + 2 x - 5 β = 0$ の $- 1 \leq x \leq 1$ の解 $x = \frac{1 + 15 β ^{2} - 1}{3 β}$ をとる
ある角度範囲の電力は $d Ω = 2 π sin θ d θ$ 、 $u = cos θ$ として $\int \frac{1 - u ^{2}}{( 1 - β u ) ^{5}} d u$ に帰着させる
この積分は $w = 1 - β u$ と置換すると $w$ のべきの和になる： $\frac{1 - u ^{2}}{( 1 - β u ) ^{5}} d u = - \frac{β ^{2} - 1 + 2 w - w ^{2}}{β ^{3} w ^{5}} d w$
割合を求めるときは、範囲の積分を全立体角の値 $\frac{4}{3} γ^{6}$ で割る（定数の前因子は約分されて消える）

例題

電荷 $q$ の粒子が、速度に平行な加速度をもって速さ $v = \frac{c}{2}$ （ $β = \frac{1}{2}$ ）で直線運動している（ $c$ は真空中の光速）。粒子の時刻（遅延時刻）あたりの放射電力のうち、粒子の進行方向の前方の半球（速度とのなす角 $θ$ が $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ）に放射される割合を、既約分数で求めよ。

例題の解答

（手順 1） $\frac{d P}{d Ω} \propto \frac{sin ^{2} θ}{( 1 - \frac{1}{2} cos θ ) ^{5}}$ 。

（手順 3） $d Ω = 2 π sin θ d θ$ 、 $u = cos θ$ とすると、前方半球は $0 \leq u \leq 1$ 、全体は $- 1 \leq u \leq 1$ で、求める割合は
$\frac{\int _{0}^{1} \frac{1 - u ^{2}}{( 1 - u /2 ) ^{5}} d u}{\int _{- 1}^{1} \frac{1 - u ^{2}}{( 1 - u /2 ) ^{5}} d u} .$

（手順 4） $w = 1 - \frac{u}{2}$ とおくと $u = 2 (1 - w)$ 、 $d u = - 2 d w$ 、 $1 - u^{2} = 1 - 4 (1 - w)^{2} = - 3 + 8 w - 4 w^{2}$ なので
$\frac{1 - u ^{2}}{( 1 - u /2 ) ^{5}} d u = - 2 \cdot \frac{- 3 + 8 w - 4 w ^{2}}{w ^{5}} d w = (6 w^{- 5} - 16 w^{- 4} + 8 w^{- 3}) d w .$
原始関数は $G (w) = - \frac{3}{2} w^{- 4} + \frac{16}{3} w^{- 3} - 4 w^{- 2}$ 。 $u = 0, 1, - 1$ はそれぞれ $w = 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ に対応し、
$G (1) = - \frac{3}{2} + \frac{16}{3} - 4 = - \frac{1}{6}$ 、 $G (\frac{1}{2}) = - 24 + \frac{128}{3} - 16 = \frac{8}{3}$ 、 $G (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{81} + \frac{16}{3} \cdot \frac{8}{27} - 4 \cdot \frac{4}{9} = \frac{- 24 + 128 - 144}{81} = - \frac{40}{81}$ 。
前方： $\int_{0}^{1} = G (\frac{1}{2}) - G (1) = \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}$ 。
全体： $\int_{- 1}^{1} = G (\frac{1}{2}) - G (\frac{3}{2}) = \frac{8}{3} + \frac{40}{81} = \frac{256}{81}$ 。

（手順 5・確認）全体の値は $\frac{4}{3} γ^{6}$ で、 $γ^{2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{4}{3}$ より $\frac{4}{3} \cdot \frac{64}{27} = \frac{256}{81}$ と一致する。割合は
$\frac{17/6}{256/81} = \frac{17 \cdot 81}{6 \cdot 256} = \frac{1377}{1536} = \frac{459}{512} \approx 0.90.$
$β = 0$ なら前後対称で $\frac{1}{2}$ なので、放射が前方へ偏ったことがわかる。

答え: $\frac{459}{512}$

よくある誤り

観測者の時刻あたりの電力 $R^{2} S \propto \frac{sin ^{2} θ}{( 1 - β cos θ ) ^{6}}$ と、粒子の時刻あたりの電力 $\frac{sin ^{2} θ}{( 1 - β cos θ ) ^{5}}$ を混同する誤り。粒子が失うエネルギーの角度分布や前方へ出る割合を問うときは $d t = (1 - n \cdot β) d t_{r}$ の因子を掛けた 5 乗の式を使う。
放射が前方に集中するので、最も強い向きを真正面 $θ = 0$ としてしまう誤り。加速度が速度に平行なら分子に $sin^{2} θ$ があり $θ = 0$ では放射は 0。最大は $cos θ_{m a x} = \frac{1 + 15 β ^{2} - 1}{3 β}$ の円錐上で、 $β \to 1$ では $θ_{m a x} \approx \frac{1}{2 γ}$ 。
$n \times ((n - β) \times β ˙)$ の $β$ を落とさずに展開して $sin^{2} θ$ 以外の項を付け加えてしまう誤り。平行な場合は $β \times β ˙ = 0$ なので $β$ を含む項はちょうど消え、分子は $β ˙^{2} sin^{2} θ$ だけになる（ $β$ の影響は分母にだけ現れる）。
立体角の積分で $sin θ$ を落とし、 $\int \frac{sin ^{2} θ}{( 1 - β cos θ ) ^{5}} d θ$ を計算してしまう誤り。正しくは $d Ω = 2 π sin θ d θ$ で、 $u = cos θ$ により $2 π \int \frac{1 - u ^{2}}{( 1 - β u ) ^{5}} d u$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
真空中で、電気量 $q$ の点電荷が $z$ 軸上を正の向きに運動しており、ある瞬間の速度は $v = β c z^$ 、 $β = \frac{2}{3}$ で、加速度は速度と同じ向き（ $β ˙ ∥ β$ 、 $β ˙ \neq = 0$ ）である（ $c$ は真空中の光速）。この瞬間に粒子が単位時間（粒子の時刻 $t^{'}$ あたり）に単位立体角へ放射するパワーは
$\frac{d P}{d Ω} = \frac{q ^{2}}{16 π ^{2} ε _{0} c} \frac{∣ n \times (( n - β ) \times β ˙ ) ∣ ^{2}}{( 1 - n \cdot β ) ^{5}}$
で与えられる。ここで $n$ は放射の向きの単位ベクトル、 $ε_{0}$ は真空の誘電率である。
$n$ と $z$ 軸の正の向きとのなす角を $θ$ （ $0 \leq θ \leq π$ ）とする。 $θ = \frac{π}{3}$ の向き（前方寄り）での $\frac{d P}{d Ω}$ を $θ = \frac{2 π}{3}$ の向き（後方寄り）での $\frac{d P}{d Ω}$ で割った比を、整数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
真空中で、電荷 $q$ の点電荷が $x$ 軸上を直線運動している。ある時刻 $t^{'}$ （粒子の時刻、すなわち遅延時刻）において、粒子の速さは $v = \frac{c}{2}$ （ $c$ は真空中の光速）であり、加速度の大きさは $a (> 0)$ で、その向きは速度と同じ向きである。真空の誘電率を $ε_{0}$ とし、SI 単位系を用いる。
リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルから得られる放射場（距離 $R$ に反比例する部分）を用いて、粒子が時刻 $t^{'}$ から $t^{'} + d t^{'}$ の間（ $d t^{'}$ は微小）に放出する放射エネルギーを考える。このエネルギーは粒子から十分遠い球面を通って外へ流れ出る。そのうち、放射の向きを表す単位ベクトル $n$ と粒子の速度とのなす角 $θ$ が $0 \leq θ < \frac{π}{2}$ を満たす向き（前方半球）へ放出される割合を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この技能の次に学べること

シンクロトロン放射（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））