ボルン近似の散乱振幅と断面積

リップマン・シュウィンガー方程式の 1 次として $f^{(1)} (θ) = - \frac{m}{2 π ℏ ^{2}} \int e^{- i q \cdot r} V (r) d^{3} r$ （球対称なら $- \frac{2 m}{ℏ ^{2} q} \int_{0}^{\infty} r V (r) sin q r d r$ 、 $q = 2 k sin \frac{θ}{2}$ ）を計算し、湯川ポテンシャル・ガウス型ポテンシャルなどの微分断面積 $∣ f ∣^{2}$ と全断面積を求められる

前提

ヘルムホルツ方程式のグリーン関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
散乱断面積とラザフォードの公式（大学物理原子核・素粒子）

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算数中学高校大学大学院

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ヘルムホルツ方程式のグリーン関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
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2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
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力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
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三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
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平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）
点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
極方程式（数学C 平面上の曲線）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
クーロン散乱の衝突径数と散乱角（大学物理原子核・素粒子）
散乱断面積とラザフォードの公式（大学物理原子核・素粒子）

説明

質量 $m$ 、波数 $k$ （エネルギー $E = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ ）の粒子がポテンシャル $V (r)$ で散乱されるとき、ポテンシャルが弱い（または入射エネルギーが高い）なら、散乱振幅 $f (θ)$ はポテンシャルのフーリエ変換 1 回で近似的に求まります。これがボルン近似（1 次ボルン近似）です。得られた $f$ から微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω} = ∣ f (θ) ∣^{2}$ が、さらに角度で積分して全断面積 $σ = \int ∣ f ∣^{2} d Ω$ が計算できます。湯川ポテンシャル（遮蔽されたクーロン力・核力のモデル）やガウス型ポテンシャルなど、古典的な軌道計算では扱いにくい量子力学的な散乱を見積もるときの基本の道具です。

なぜそうしてよいのか

シュレーディンガー方程式 $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V ψ = E ψ$ は、 $U (r) = \frac{2 m}{ℏ ^{2}} V (r)$ とおくと $(\nabla^{2} + k^{2}) ψ = U ψ$ と書けます。右辺を「源」とみなすと、外向き波のグリーン関数 $G (r) = \frac{e ^{ik r}}{4 π r}$ （ $(\nabla^{2} + k^{2}) G = - δ^{3} (r)$ ）を使って
$ψ (r) = e^{i k \cdot r} - \int \frac{e ^{ik ∣ r - r^{'} ∣}}{4 π ∣ r - r ^{'} ∣} U (r^{'}) ψ (r^{'}) d^{3} r^{'}$
という積分方程式（リップマン・シュウィンガー方程式）が得られます。第 1 項が入射平面波、第 2 項が散乱波で、外向きのグリーン関数を選んだので散乱波は外へ広がる波になります。遠方 $r ≫ r^{'}$ では $∣ r - r^{'} ∣ \approx r - r^\cdot r^{'}$ なので、散乱方向の波数ベクトルを $k^{'} = k r^$ として第 2 項は $\frac{e ^{ik r}}{r} f$ の形になり、
$f = - \frac{1}{4 π} \int e^{- i k^{'} \cdot r^{'}} U (r^{'}) ψ (r^{'}) d^{3} r^{'}$
と読み取れます。

ポテンシャルが弱ければ、積分の中の $ψ$ は入射波からほとんどずれていないので $ψ (r^{'}) \approx e^{i k \cdot r^{'}}$ と置き換えます（ $U$ について 1 次の近似）。すると運動量移行 $q = k^{'} - k$ を使って
$f^{(1)} = - \frac{m}{2 π ℏ ^{2}} \int e^{- i q \cdot r} V (r) d^{3} r$
となり、散乱振幅は「ポテンシャルのフーリエ変換を $q$ で評価したもの」になります。 $∣ k ∣ = ∣ k^{'} ∣ = k$ でなす角が $θ$ なので、余弦定理から $q^{2} = 2 k^{2} (1 - cos θ) = 4 k^{2} sin^{2} \frac{θ}{2}$ 、つまり $q = 2 k sin \frac{θ}{2}$ です。

$V$ が球対称なら、 $q$ を $z$ 軸にとった極座標で角度部分を先に積分できます： $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} e^{- i q r c o s α} sin α d α d φ = \frac{4 π s i n q r}{q r}$ 。よって $f^{(1)} (θ) = - \frac{2 m}{ℏ ^{2} q} \int_{0}^{\infty} r V (r) sin q r d r$ となり、1 変数の積分 1 回で済みます。散乱波 $\frac{e ^{ik r}}{r} f$ の確率の流れと入射波の流れの比から $\frac{d σ}{d Ω} = ∣ f ∣^{2}$ です。

手順

ポテンシャル $V (r)$ 、粒子の質量 $m$ 、入射波数 $k$ を確認し、散乱角 $θ$ に対する運動量移行 $q = 2 k sin \frac{θ}{2}$ を書く
球対称なら動径積分 $I (q) = \int_{0}^{\infty} r V (r) sin q r d r$ を計算する（球対称でなければ $\int e^{- i q \cdot r} V d^{3} r$ を直接計算する）
散乱振幅 $f^{(1)} (θ) = - \frac{2 m}{ℏ ^{2} q} I (q)$ を作る（ $q \to 0$ の前方でも有限値になることを確認する）
微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω} = ∣ f^{(1)} ∣^{2}$ を求め、 $q = 2 k sin \frac{θ}{2}$ を代入して $θ$ で表す
全断面積が必要なら $σ = 2 π \int_{0}^{π} ∣ f ∣^{2} sin θ d θ$ を計算する。 $q d q = k^{2} sin θ d θ$ を使い $σ = \frac{2 π}{k ^{2}} \int_{0}^{2 k} ∣ f ∣^{2} q d q$ と変数変換すると楽になる

例題

質量 $m$ の粒子が、湯川ポテンシャル $V (r) = V_{0} \frac{e ^{- μ r}}{r}$ （ $V_{0}$ は実定数、 $μ > 0$ ）によって散乱される。入射粒子の波数を $k$ 、換算プランク定数を $ℏ$ とする。1 次ボルン近似で、散乱角 $θ$ の微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω}$ を $m, V_{0}, μ, k, ℏ, θ$ で表せ。

例題の解答

手順 1：運動量移行は $q = 2 k sin \frac{θ}{2}$ 。

手順 2：動径積分を計算する。 $r V (r) = V_{0} e^{- μ r}$ なので
$I (q) = V_{0} \int_{0}^{\infty} e^{- μ r} sin q r d r = V_{0} Im \int_{0}^{\infty} e^{(- μ + i q) r} d r = V_{0} Im \frac{1}{μ - i q} = V_{0} Im \frac{μ + i q}{μ ^{2} + q ^{2}} = \frac{V _{0} q}{μ ^{2} + q ^{2}} .$
（ $μ > 0$ なので $r \to \infty$ で $e^{(- μ + i q) r} \to 0$ となり、積分は収束する。）

手順 3：散乱振幅は
$f^{(1)} (θ) = - \frac{2 m}{ℏ ^{2} q} \cdot \frac{V _{0} q}{μ ^{2} + q ^{2}} = - \frac{2 m V _{0}}{ℏ ^{2} ( μ ^{2} + q ^{2} )} .$
$q$ が約分されるので、 $θ = 0$ （ $q = 0$ ）でも $- \frac{2 m V _{0}}{ℏ ^{2} μ ^{2}}$ と有限である。

手順 4：微分断面積は
$\frac{d σ}{d Ω} = ∣ f^{(1)} ∣^{2} = \frac{4 m ^{2} V _{0}^{2}}{ℏ ^{4} ( μ ^{2} + 4 k ^{2} sin ^{2} \frac{θ}{2} ) ^{2}} .$

（参考： $μ \to 0$ とし $V_{0}$ をクーロン力の係数とすると、 $E = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ を使って $(\frac{V _{0}}{4 E})^{2} \frac{1}{s i n ^{4} ( θ /2 )}$ となり、ラザフォードの公式と一致する。）

答え: $\frac{4 m ^{2} V _{0}^{2}}{ℏ ^{4} ( μ ^{2} + 4 k ^{2} sin ^{2} \frac{θ}{2} ) ^{2}}$

よくある誤り

運動量移行を $q = k sin θ$ や $q = 2 k sin θ$ としてしまう誤り。正しくは $q = k^{'} - k$ 、 $∣ k ∣ = ∣ k^{'} ∣ = k$ から $q^{2} = 2 k^{2} (1 - cos θ)$ 、すなわち $q = 2 k sin \frac{θ}{2}$ 。
球対称の式で $r$ の重みを $r^{2}$ のままにしたり、前の $\frac{1}{q}$ を落としたりする誤り。角度積分 $\int e^{- i q r c o s α} d Ω = \frac{4 π s i n q r}{q r}$ で $r^{2}$ の 1 つと $q$ が割られるので、正しくは $f^{(1)} = - \frac{2 m}{ℏ ^{2} q} \int_{0}^{\infty} r V (r) sin q r d r$ （ $r^{2}$ ではなく $r$ ）。
係数を $- \frac{m}{2 π ℏ ^{2}}$ ではなく $- \frac{2 m}{ℏ ^{2}}$ や $- \frac{m}{4 π ℏ ^{2}}$ などと取り違える誤り。 $U = \frac{2 m}{ℏ ^{2}} V$ とグリーン関数の $\frac{1}{4 π}$ から $\frac{1}{4 π} \cdot \frac{2 m}{ℏ ^{2}} = \frac{m}{2 π ℏ ^{2}}$ で、符号は負（引力 $V < 0$ なら前方の $f > 0$ ）。
全断面積で $σ = \int_{0}^{π} ∣ f ∣^{2} d θ$ や $2 π \int_{0}^{π} ∣ f ∣^{2} d θ$ としてしまう誤り。立体角要素は $d Ω = sin θ d θ d φ$ なので、正しくは $σ = 2 π \int_{0}^{π} ∣ f ∣^{2} sin θ d θ = \frac{2 π}{k ^{2}} \int_{0}^{2 k} ∣ f ∣^{2} q d q$ 。例えば湯川ポテンシャルでは $σ = \frac{16 π m ^{2} V _{0}^{2}}{ℏ ^{4} μ ^{2} ( μ ^{2} + 4 k ^{2} )}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が、球対称な指数関数型ポテンシャル
$V (r) = V_{0} e^{- r / a} (V_{0} は 0 でない実定数, a > 0)$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数を $k > 0$ 、散乱角を $θ$ （ $0 \leq θ \leq π$ ）とし、換算プランク定数を $ℏ$ とする。
球対称ポテンシャルに対する 1 次のボルン近似の散乱振幅
$f^{(1)} (θ) = - \frac{2 m}{ℏ ^{2} q} \int_{0}^{\infty} r V (r) sin (q r) d r, q = 2 k sin \frac{θ}{2}$
と微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω} = ∣ f^{(1)} (θ) ∣^{2}$ を用いる。ただし $θ = 0$ （ $q = 0$ ）での値は $q \to 0$ の極限で定める。
$k a = 1$ のとき、後方散乱（ $θ = π$ ）の微分断面積と前方散乱（ $θ = 0$ ）の微分断面積の比
$\frac{\frac{d σ}{d Ω} _{θ = π}}{\frac{d σ}{d Ω} _{θ = 0}}$
を既約分数で求めよ。

ボルン近似の散乱振幅と断面積

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題