発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）の問題

1. 電子の強制振動

入射波の電場を $\mathbf{E}=\mathbf{ϵ}{E}_0{e}^{-i\omega t}$（$\mathbf{ϵ}$ は偏光ベクトル）とすると、運動方程式は
$$m\ddot{\mathbf{x}}=-m{\omega }_0^2\mathbf{x}-e\mathbf{ϵ}{E}_0{e}^{-i\omega t}$$
である。定常解 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}_0{e}^{-i\omega t}$ を代入すると
$${\mathbf{x}}_0=-\frac{e{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}\mathbf{ϵ}$$
となる。よって双極子モーメントの振幅は
$${\mathbf{p}}_0=-e{\mathbf{x}}_0=\frac{e^2{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}\mathbf{ϵ}$$
である。

2. 微分断面積

双極子軸と観測方向 $\mathbf{n}$ のなす角を $\psi$ とすると、振動双極子の放射の時間平均は
$$⟨\frac{dP}{d\Omega }⟩=\frac{{\mu }_0{\omega }^4|{\mathbf{p}}_0{|}^2}{32{\pi }^{2}c}{\sin }^2\psi$$
である。入射強度は $I=\frac{1}{2}c{\epsilon }_0{E}_0^2$ なので、${\mu }_0=1/({\epsilon }_0{c}^2)$ を用いて
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{⟨dP/d\Omega ⟩}{I}={\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}m{c}^2}\right)}^2\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2}{\sin }^2\psi =r_e^2\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2}{\sin }^2\psi$$
を得る。

無偏光の場合は、入射方向に垂直な面内で $\mathbf{ϵ}$ の向きについて平均する。${\sin }^2\psi =1-(\mathbf{ϵ}\cdot \mathbf{n}{)}^2$ であり、$⟨(\mathbf{ϵ}\cdot \mathbf{n}{)}^2⟩=\frac{1}{2}{\sin }^2\theta$ だから
$$⟨{\sin }^2\psi ⟩=1-\frac{1}{2}{\sin }^2\theta =\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}$$
となる。そこで $K=\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2}$ とおくと
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=r_e^{2}K\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}$$
である。全立体角で積分すると、この束縛電子の全断面積は $K{\sigma }_T$ となる。$\omega \gg {\omega }_0$ ではトムソン散乱に、$\omega \ll {\omega }_0$ では ${\omega }^4$ に比例するレイリー散乱に帰着する。

3. 円錐内への断面積

$x=\cos \theta$ とおく。方位角で積分すると $d\Omega =2\pi dx$ であり、$0\le \theta \le \pi /3$ は $\frac{1}{2}\le x\le 1$ に対応する。
$${\sigma }_{\mathrm{cone}}=2\pi r_e^{2}K{\int }_{1/2}^1\frac{1+x^2}{2}dx=\pi r_e^{2}K{\left[x+\frac{x^3}{3}\right]}_{1/2}^1=\pi r_e^{2}K\left(\frac{4}{3}-\frac{13}{24}\right)=\frac{19}{24}\pi r_e^{2}K$$
したがって
$$\frac{{\sigma }_{\mathrm{cone}}}{{\sigma }_T}=\frac{\frac{19}{24}\pi r_e^{2}K}{\frac{8}{3}\pi r_e^2}=\frac{19}{64}K$$
である。${\sigma }_T$ は定数 $\frac{8\pi }{3}{r}_e^2$ なので、因子 $K$ は打ち消し合わずに残る。

4. 数値の代入

$\omega ={\omega }_0/2$ のとき、${\omega }^4=\frac{{\omega }_0^4}{16}$ である。また ${\omega }_0^2-{\omega }^2=\frac{3}{4}{\omega }_0^2$ より $({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2=\frac{9}{16}{\omega }_0^4$ なので
$$K=\frac{{\omega }_0^4/16}{9{\omega }_0^4/16}=\frac{1}{9}$$
となる。よって
$$\frac{{\sigma }_{\mathrm{cone}}}{{\sigma }_T}=\frac{19}{64}\cdot \frac{1}{9}=\frac{19}{576}$$
である。

束縛電子の強制振動の振幅は、減衰を無視すると $x_0=\frac{e{E}_0}{m({\omega }_0^2-{\omega }^2)}$ である。双極子放射の断面積は、偏光方向 $\mathbf{ϵ}$ に対して $\frac{d\sigma }{d\Omega }=r_e^2\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2}|\mathbf{ϵ}\cdot {\mathbf{ϵ}}^{\prime }{|}^2$ となる。無偏光で入射波の偏光について平均し、散乱波の偏光について和をとると、$|\mathbf{ϵ}\cdot {\mathbf{ϵ}}^{\prime }{|}^2$ は $\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}$ に置き換わる。したがって

$\frac{d\sigma }{d\Omega }=r_e^2\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2}\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}$

$\omega ={\omega }_0/2$ のとき、${\omega }^4={\omega }_0^4/16$、$({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2=(3{\omega }_0^2/4{)}^2=9{\omega }_0^4/16$ なので、$\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2}=\frac{1}{9}$ である。

立体角積分は $u=\cos \theta$ として

${\int }_0^{\pi /3}\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}d\Omega =2\pi {\int }_{1/2}^1\frac{1+u^2}{2}du=\pi [u+\frac{u^3}{3}{]}_{1/2}^1=\pi (\frac{4}{3}-\frac{13}{24})=\frac{19\pi }{24}$

よって ${\sigma }_{\mathrm{cone}}=\frac{19\pi }{216}{r}_e^2$ となる。

${\sigma }_T=\frac{8\pi }{3}{r}_e^2$ との比は $\frac{19}{216}\cdot \frac{3}{8}=\frac{19}{576}$ である。

検算として、全立体角の積分は $\pi [u+u^3/3{]}_{-1}^1=8\pi /3$ となる。このとき全断面積は $\frac{1}{9}{\sigma }_T$ で、$\omega \ll {\omega }_0$ のレイリー散乱の係数と整合する。