発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）の問題

ある誘電体の比誘電率が、ローレンツ模型により
$$\epsilon (\omega )=1+\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\gamma \omega }$$
で与えられる。ここで $\omega$ は電磁波の角振動数、${\omega }_0$ は束縛電子の固有角振動数、$\gamma$ は減衰定数、${\omega }_p$ はプラズマ角振動数であり、時間依存性は $e^{-i\omega t}$ の流儀をとる。

ある正の定数 $\Omega$ を用いて ${\omega }_0=2\Omega$、$\gamma =\Omega$、${\omega }_p^2=5{\Omega }^2$ と表されるとき、角振動数 $\omega =\Omega$ での比誘電率の実部 $\mathrm{Re}\epsilon$ と虚部 $\mathrm{Im}\epsilon$ を、この順に組 $(\mathrm{Re}\epsilon ,\mathrm{Im}\epsilon )$ で求めよ。

偏光していない（無偏光の）電磁波が、静止した自由電子に入射してトムソン散乱される。電磁波の光子のエネルギーは電子の静止エネルギーに比べて十分小さく、散乱の微分断面積は
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=r_e^2\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}$$
で与えられる。ここで $r_e$ は古典電子半径、$\theta$ は入射方向と散乱方向のなす角（散乱角）である。

散乱角が $0\le \theta \le \frac{\pi }{3}$ の範囲（前方の円錐の中）に散乱される断面積を ${\sigma }_{\mathrm{f}}$ とするとき、トムソン散乱の全断面積 ${\sigma }_T$ に対する比 $\frac{{\sigma }_{\mathrm{f}}}{{\sigma }_T}$ を既約分数で求めよ。

電子（質量 $m$、電荷 $-e$）が、ローレンツ模型にしたがって原子に束縛されているとする。すなわち電子は復元力 $-m{\omega }_0^2\mathbf{x}$ を受け、固有角振動数 ${\omega }_0$ で振動できる。減衰と放射反作用は無視する。電子の運動は非相対論的で、双極子近似が成り立つものとし、入射波の磁場による力も無視する。SI 単位系を用い、古典電子半径を $r_e=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}m{c}^2}$ とする。また、自由電子のトムソン散乱の全断面積を ${\sigma }_T=\frac{8\pi }{3}{r}_e^2$ とする。${\sigma }_T$ は ${\omega }_0$ や $\omega$ によらない定数であり、この束縛電子の全散乱断面積ではないことに注意せよ。

この電子に、角振動数 $\omega =\frac{{\omega }_0}{2}$ の偏光していない（無偏光の）単色平面電磁波が入射する。散乱角 $\theta$ を、入射波の進行方向と散乱波の進行方向のなす角とする。散乱角が $0\le \theta \le \frac{\pi }{3}$ の範囲に散乱される断面積を ${\sigma }_{\mathrm{cone}}$ とするとき、比 $\frac{{\sigma }_{\mathrm{cone}}}{{\sigma }_T}$ を既約分数で答えよ。

ある絶縁体（直流電気伝導度は $0$）の比誘電率を $\epsilon (\omega )={\epsilon }^{\prime }(\omega )+i{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )$（$\omega \ge 0$ は角振動数）とする。$\epsilon (\omega )$ は因果律を満たす応答関数で、複素 $\omega$ の上半面で正則であり、$|\omega |\to \infty$ で $\epsilon (\omega )\to 1$ となる。また ${\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )$ は $\omega \to 0$ で $\omega$ に比例して $0$ に近づき、このとき実部はクラマース・クローニッヒの関係
$${\epsilon }^{\prime }(\omega )-1=\frac{2}{\pi }\mathrm{P}{\int }_0^{\infty }\frac{{\omega }^{\prime }{\epsilon }^{\prime \prime }({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime 2}-{\omega }^2}d{\omega }^{\prime }$$
を満たす（$\mathrm{P}$ は主値）。

この絶縁体の静的な比誘電率が ${\epsilon }^{\prime }(0)=5$ であるとき、積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )}{\omega }d\omega$$
の値を求めよ。

ローレンツ因子 $\gamma =1000$ の電子が、一様な磁場の中で半径 $\rho$ の円軌道を一定の速さで回っている。電子の速さは光速 $c$ にほぼ等しいとみなし（$\beta \approx 1$）、周回の角振動数を ${\omega }_0=\frac{c}{\rho }$ とする。

この電子が出すシンクロトロン放射の臨界振動数を ${\omega }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^3\frac{c}{\rho }$ と定義するとき、比 $\frac{{\omega }_c}{{\omega }_0}$ の値を整数で求めよ。