発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）の問題

ある誘電体の比誘電率が、ローレンツ模型により
$$\epsilon (\omega )=1+\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\gamma \omega }$$
で与えられる。ここで $\omega$ は電磁波の角振動数、${\omega }_0$ は束縛電子の固有角振動数、$\gamma$ は減衰定数、${\omega }_p$ はプラズマ角振動数であり、時間依存性は $e^{-i\omega t}$ の流儀をとる。

ある正の定数 $\Omega$ を用いて ${\omega }_0=2\Omega$、$\gamma =\Omega$、${\omega }_p^2=5{\Omega }^2$ と表されるとき、角振動数 $\omega =\Omega$ での比誘電率の実部 $\mathrm{Re}\epsilon$ と虚部 $\mathrm{Im}\epsilon$ を、この順に組 $(\mathrm{Re}\epsilon ,\mathrm{Im}\epsilon )$ で求めよ。

等方的な誘電体の比誘電率が、ローレンツ模型により次の式で与えられるとする（時間依存は $e^{-i\omega t}$ とする）。
$$\epsilon (\omega )=1+\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\gamma \omega }$$
ここで ${\omega }_p>0$, ${\omega }_0>0$, $\gamma >0$ は定数、$\omega$ は実数の角周波数である。$\epsilon (\omega )={\epsilon }^{\prime }(\omega )+i{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )$（${\epsilon }^{\prime },{\epsilon }^{\prime \prime }$ は実数）と書くとき、積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )}{\omega }d\omega$$
を ${\omega }_p,{\omega }_0,\gamma$ のうち必要なものを用いて表せ。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷が $z$ 軸上を正の向きに運動しており、ある瞬間の速度は $\mathbf{v}=\beta c\hat{\mathbf{z}}$、$\beta =\frac{2}{3}$ で、加速度は速度と同じ向き（$\dot{\mathbf{\beta }}\parallel \mathbf{\beta }$、$\dot{\mathbf{\beta }}\ne 0$）である（$c$ は真空中の光速）。この瞬間に粒子が単位時間（粒子の時刻 $t^{\prime }$ あたり）に単位立体角へ放射するパワーは
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\frac{|\mathbf{n}\times ((\mathbf{n}-\mathbf{\beta })\times \dot{\mathbf{\beta }}){|}^2}{(1-\mathbf{n}\cdot \mathbf{\beta }{)}^5}$$
で与えられる。ここで $\mathbf{n}$ は放射の向きの単位ベクトル、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

$\mathbf{n}$ と $z$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とする。$\theta =\frac{\pi }{3}$ の向き（前方寄り）での $\frac{dP}{d\Omega }$ を $\theta =\frac{2\pi }{3}$ の向き（後方寄り）での $\frac{dP}{d\Omega }$ で割った比を、整数で求めよ。

電子が固有角振動数 ${\omega }_0$ の調和的な復元力で原子に束縛されているとみなすローレンツ模型を考える。減衰（放射減衰を含む）は無視する。この束縛電子に角振動数 $\omega$ の平面電磁波が入射するとき、全散乱断面積は
$$\sigma (\omega )={\sigma }_T\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2}$$
で与えられる。ここで ${\sigma }_T$ は自由電子のトムソン散乱の全断面積である。

入射波の角振動数が $\omega =\frac{{\omega }_0}{3}$ のとき、比 $\frac{\sigma }{{\sigma }_T}$ の値を既約分数で求めよ。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷について次の 2 つの運動を考える（$c$ は真空中の光速）。速さと加速度は、どちらも観測者の慣性系で測ったものとする（加速度は観測者の慣性系での速度の時間微分 $\frac{d\mathbf{v}}{dt}$ であり、固有加速度ではない）。

• 運動 A: 直線上を加速しており、ある瞬間の速さが $v=\frac{4}{5}c$、加速度の向きは速度と同じ向きで、その大きさが $a$ である。
• 運動 B: 一定の速さ $v=\frac{4}{5}c$ で等速円運動しており、加速度（向心加速度）の大きさが $a$ である。

全放射パワーはリエナールの公式
$$P=\frac{q^2{\gamma }^6}{6\pi {\epsilon }_{0}c}\left[{\dot{\mathbf{\beta }}}^2-(\mathbf{\beta }\times \dot{\mathbf{\beta }}{)}^2\right],\mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{v}}{c},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$$
で与えられる（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、ドットは観測者の慣性系での時間微分）。上の瞬間における運動 A の全放射パワー $P_{\mathrm{A}}$ と運動 B の全放射パワー $P_{\mathrm{B}}$ の比 $\frac{P_{\mathrm{A}}}{P_{\mathrm{B}}}$ を、既約分数で求めよ。