クラマース・クローニッヒの関係と総和則

応答関数の上半面での解析性から $ε^{'} (ω) - 1 = \frac{2}{π} P \int_{0}^{\infty} \frac{ω ^{'} ε ^{''} ( ω ^{'} )}{ω ^{'2} - ω ^{2}} d ω^{'}$ を使い、 $\int_{0}^{\infty} ε^{''} (ω) / ω d ω$ や $\int_{0}^{\infty} ω ε^{''} (ω) d ω$ などの総和則の値を求められる

前提

ローレンツ模型の誘電率と分散（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
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コンデンサーの直列接続・並列接続（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの直列・並列接続（高校物理電場と電位・コンデンサー）
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誘電体と電束密度・分極電荷（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
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複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

説明

比誘電率 $ε (ω) = ε^{'} (ω) + i ε^{''} (ω)$ の実部（屈折・分散）と虚部（吸収）は独立ではなく、因果律（原因より前に応答は起きない）から、一方を全振動数で知れば他方が決まります。これがクラマース・クローニッヒの関係
$ε^{'} (ω) - 1 = \frac{2}{π} P \int_{0}^{\infty} \frac{ω ^{'} ε ^{''} ( ω ^{'} )}{ω ^{'2} - ω ^{2}} d ω^{'}$
です。この式に $ω = 0$ や $ω \to \infty$ を入れると、吸収スペクトルの積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω )}{ω} d ω$ や $\int_{0}^{\infty} ω ε^{''} (ω) d ω$ の値が、静的誘電率やプラズマ振動数だけで決まるという総和則が得られます。実験の吸収スペクトルの検算や、模型の細部によらない性質を調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

場の時間依存を $e^{- iω t}$ とします。分極は過去の電場だけで決まる（ $P (t) = ε_{0} \int_{0}^{\infty} G (τ) E (t - τ) d τ$ ）ので、 $χ (ω) = ε (ω) - 1 = \int_{0}^{\infty} G (τ) e^{iω τ} d τ$ です。 $ω$ を複素数 $z$ にすると、 $Im z > 0$ では $e^{i z τ}$ が $τ \to \infty$ で減衰するので積分が収束し、 $χ (z)$ は上半面で正則になります。さらに $∣ z ∣ \to \infty$ で $χ \to 0$ です（電子は無限に速い電場には追従できない）。ローレンツ模型 $χ = \frac{ω _{p}^{2}}{ω _{0}^{2} - z ^{2} - iγ z}$ でも、極は $z = - \frac{iγ}{2} \pm ω_{0}^{2} - γ^{2} /4$ と下半面にあり、確かに上半面で正則です。

実軸上の点 $ω$ を小さな上向きの半円でよけ、上半面の大きな半円で閉じた閉曲線で $\frac{χ ( z )}{z - ω}$ を積分すると、内部に特異点がないので 0 です。大きな半円の寄与は $χ \to 0$ により消え、小さな半円（時計回り、半周）は $- iπ χ (ω)$ を与えるので、 $P \int_{- \infty}^{\infty} \frac{χ ( ω ^{'} )}{ω ^{'} - ω} d ω^{'} = iπ χ (ω)$ 。ここで $P$ は $ω^{'} = ω$ の前後を対称に $δ$ ずつ除いて $δ \to 0$ とする主値積分です。実部をとると $χ^{'} (ω) = \frac{1}{π} P \int_{- \infty}^{\infty} \frac{χ ^{''} ( ω ^{'} )}{ω ^{'} - ω} d ω^{'}$ 。 $G$ が実数なので $χ (- ω) = χ (ω)^{*}$ 、つまり $ε^{''}$ は奇関数で、負の振動数の部分を正の側に折り返すと $\frac{1}{ω ^{'} - ω} + \frac{1}{ω ^{'} + ω} = \frac{2 ω ^{'}}{ω ^{'2} - ω ^{2}}$ から冒頭の式になります。

総和則は 2 つの極限から出ます。(i) $ω = 0$ を入れると（絶縁体で $ε (0)$ が有限のとき）主値は不要になり $\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω ^{'} )}{ω ^{'}} d ω^{'} = \frac{π}{2} (ε^{'} (0) - 1)$ 。(ii) $ω$ が吸収のあるどの振動数よりも十分大きいと、分母は $- ω^{2}$ で近似でき $ε^{'} (ω) - 1 \approx - \frac{2}{π ω ^{2}} \int_{0}^{\infty} ω^{'} ε^{''} (ω^{'}) d ω^{'}$ 。一方、高振動数では電子は自由電子のようにふるまい $ε \approx 1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}}$ （ $ω_{p}^{2} = \frac{N e ^{2}}{ε _{0} m}$ 、 $N$ は全電子の数密度）なので、比べて $\int_{0}^{\infty} ω ε^{''} (ω) d ω = \frac{π}{2} ω_{p}^{2}$ （f 総和則）。どちらも減衰 $γ$ などの細部によりません。

手順

応答関数 $χ (ω) = ε (ω) - 1$ が上半面で正則で $∣ ω ∣ \to \infty$ で 0 に近づくこと、 $ε^{''}$ が奇関数であることを確かめる（時間依存 $e^{- iω t}$ の流儀）
求めたい積分の形を見て、クラマース・クローニッヒの関係 $ε^{'} (ω) - 1 = \frac{2}{π} P \int_{0}^{\infty} \frac{ω ^{'} ε ^{''} ( ω ^{'} )}{ω ^{'2} - ω ^{2}} d ω^{'}$ のどの極限を使うか決める
$\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''}}{ω} d ω$ を求めるときは $ω = 0$ を入れ、 $\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω )}{ω} d ω = \frac{π}{2} (ε^{'} (0) - 1)$ とする（ $ε (0)$ が有限であること）
$\int_{0}^{\infty} ω ε^{''} d ω$ を求めるときは $ω \to \infty$ で $ε^{'} (ω) - 1$ を $\frac{1}{ω ^{2}}$ の項まで展開し、 $- \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}}$ と比べて $\int_{0}^{\infty} ω ε^{''} (ω) d ω = \frac{π}{2} ω_{p}^{2}$ とする
右辺の $ε^{'} (0)$ や高振動数の係数を、与えられた模型（ローレンツ模型など）の式から計算する

例題

ある絶縁体の比誘電率がローレンツ模型 $ε (ω) = 1 + \frac{ω _{p}^{2}}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} - iγ ω}$ （ $ω_{p}, ω_{0}, γ$ は正の定数、場の時間依存は $e^{- iω t}$ ）で与えられる。 $ε^{''} (ω) = Im ε (ω)$ とするとき、積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω )}{ω} d ω$ の値を $ω_{p}, ω_{0}$ を用いて求めよ。

例題の解答

（手順 1） $χ (z) = \frac{ω _{p}^{2}}{ω _{0}^{2} - z ^{2} - iγ z}$ の極は $z^{2} + iγ z - ω_{0}^{2} = 0$ の解 $z = - \frac{iγ}{2} \pm ω_{0}^{2} - \frac{γ ^{2}}{4}$ （ $γ > 2 ω_{0}$ なら $z = - \frac{iγ}{2} \pm i \frac{γ ^{2}}{4} - ω_{0}^{2}$ で、どちらも虚部が負）で、いずれも下半面にある。 $∣ z ∣ \to \infty$ で $χ \sim - \frac{ω _{p}^{2}}{z ^{2}} \to 0$ 。よってクラマース・クローニッヒの関係が成り立つ。

（手順 2・3） $\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''}}{ω} d ω$ の形なので $ω = 0$ の極限を使う。 $ε (0) = 1 + \frac{ω _{p}^{2}}{ω _{0}^{2}}$ は有限なので
$\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω )}{ω} d ω = \frac{π}{2} (ε^{'} (0) - 1) .$

（手順 5） $ε^{'} (0) - 1 = \frac{ω _{p}^{2}}{ω _{0}^{2}}$ なので
$\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω )}{ω} d ω = \frac{π ω _{p}^{2}}{2 ω _{0}^{2}} .$
減衰 $γ$ によらない。 $ε^{''} = \frac{ω _{p}^{2} γ ω}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + γ ^{2} ω ^{2}}$ を直接積分しても同じ値になる（吸収の山の形は $γ$ で変わるが、面積に当たるこの積分は変わらない）。

答え: $\frac{π ω _{p}^{2}}{2 ω _{0}^{2}}$

よくある誤り

クラマース・クローニッヒの関係の係数を $\frac{1}{π}$ のまま $\int_{0}^{\infty}$ に使ってしまう誤り。 $\frac{1}{π} P \int_{- \infty}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω ^{'} )}{ω ^{'} - ω} d ω^{'}$ を、 $ε^{''}$ が奇関数であることを使って正の振動数だけに折り返すと $\frac{2}{π} P \int_{0}^{\infty} \frac{ω ^{'} ε ^{''}}{ω ^{'2} - ω ^{2}} d ω^{'}$ になる。
時間依存 $e^{- iω t}$ と $e^{iω t}$ を取り違え、応答関数が下半面で正則として符号を誤る誤り。 $e^{- iω t}$ の流儀では吸収は $ε^{''} > 0$ で、 $χ (z)$ は上半面で正則（極は下半面）。流儀を変えると $ε^{''}$ の符号と正則な半面が入れ替わる。
金属（自由電子、 $ω_{0} = 0$ ）にも静的な総和則 $\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''}}{ω} d ω = \frac{π}{2} (ε^{'} (0) - 1)$ を使ってしまう誤り。導体では $ε^{''} \sim \frac{σ _{0}}{ε _{0} ω}$ のように $ω = 0$ で発散し、 $ε (0)$ が有限でないのでこの形は使えない。f 総和則 $\int_{0}^{\infty} ω ε^{''} d ω = \frac{π}{2} ω_{p}^{2}$ は導体でも成り立つ。
f 総和則の $ω_{p}^{2}$ を、着目している一つの吸収帯の電子だけで計算してしまう誤り。全振動数で積分するので、 $ω_{p}^{2} = \frac{N e ^{2}}{ε _{0} m}$ の $N$ は（内殻を含む）すべての電子の数密度である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
ある絶縁体（直流電気伝導度は $0$ ）の比誘電率を $ε (ω) = ε^{'} (ω) + i ε^{''} (ω)$ （ $ω \geq 0$ は角振動数）とする。 $ε (ω)$ は因果律を満たす応答関数で、複素 $ω$ の上半面で正則であり、 $∣ ω ∣ \to \infty$ で $ε (ω) \to 1$ となる。また $ε^{''} (ω)$ は $ω \to 0$ で $ω$ に比例して $0$ に近づき、このとき実部はクラマース・クローニッヒの関係
$ε^{'} (ω) - 1 = \frac{2}{π} P \int_{0}^{\infty} \frac{ω ^{'} ε ^{''} ( ω ^{'} )}{ω ^{'2} - ω ^{2}} d ω^{'}$
を満たす（ $P$ は主値）。
この絶縁体の静的な比誘電率が $ε^{'} (0) = 5$ であるとき、積分
$\int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω )}{ω} d ω$
の値を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
等方的な誘電体の比誘電率が、ローレンツ模型により次の式で与えられるとする（時間依存は $e^{- iω t}$ とする）。
$ε (ω) = 1 + \frac{ω _{p}^{2}}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} - iγ ω}$
ここで $ω_{p} > 0$ , $ω_{0} > 0$ , $γ > 0$ は定数、 $ω$ は実数の角周波数である。 $ε (ω) = ε^{'} (ω) + i ε^{''} (ω)$ （ $ε^{'}, ε^{''}$ は実数）と書くとき、積分
$I = \int_{0}^{\infty} \frac{ε ^{''} ( ω )}{ω} d ω$
を $ω_{p}, ω_{0}, γ$ のうち必要なものを用いて表せ。