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振動・波動の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理振動・波動

質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねにつながれ、なめらかな水平面上で一直線上を運動する。物体には速度に比例する抵抗力 $- b x ˙$ がはたらき、さらに外力 $F_{0} cos ω t$ が加えられている（ $x$ はつりあいの位置からの変位、 $F_{0} > 0$ , $ω > 0$ ）。抵抗の係数は $b = \frac{1}{2} mk$ である。

十分時間がたった後の定常振動の振幅を $A (ω)$ とする。外力の角振動数 $ω$ を $0 < ω < \infty$ の範囲で変えたときの $A (ω)$ の最大値を $A_{m a x}$ とし、 $ω \to + 0$ の極限での振幅を $A_{0} = ω \to + 0 lim A (ω)$ とする。比 $\frac{A _{m a x}}{A _{0}}$ を求めよ。答えは根号を含む正確な値で表せ。

k

m

F_{0} cos ω t

x

x

はつりあいの位置からの変位

この問題で使うもの

強制振動の定常解（説明と入口の問題）
共振と Q 値（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

運動方程式を立て、定常解を $x = Re (C e^{iω t})$ とおいて振幅 $A (ω)$ を $ω$ の関数として求めよう。 $ω_{0} = k / m$ , $γ = b / (2 m)$ とおくと見通しがよい。

ヒント 2

$A (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + 4 γ ^{2} ω ^{2}}$ である。根号の中を $u = ω^{2}$ の 2 次関数とみて最小値を求めよう。

ヒント 3

根号の中は $u = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ で最小値 $4 γ^{2} (ω_{0}^{2} - γ^{2})$ をとる。与えられた $b$ から $γ = ω_{0} /4$ となる。

答えと解説

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\frac{8 15}{15}

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解説を読む

運動方程式

物体にはたらく水平方向の力はばねの弾性力 $- k x$ 、抵抗力 $- b x ˙$ 、外力 $F_{0} cos ω t$ なので
$m x ¨ + b x ˙ + k x = F_{0} cos ω t$
である。 $ω_{0} = k / m$ , $γ = \frac{b}{2 m}$ とおくと
$x ¨ + 2 γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = \frac{F _{0}}{m} cos ω t$
$b = \frac{1}{2} mk$ より $γ = \frac{mk}{4 m} = \frac{ω _{0}}{4}$ である。

定常振動の振幅

抵抗があるので斉次方程式の解（減衰振動）は $e^{- γ t}$ で減衰し、十分時間がたつと特解だけが残る。 $x = Re (C e^{iω t})$ とおいて代入すると
$(ω_{0}^{2} - ω^{2} + 2 iγ ω) C = \frac{F _{0}}{m}$
より
$A (ω) = ∣ C ∣ = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + 4 γ ^{2} ω ^{2}}$

$A_{0}$

$ω \to + 0$ で $A_{0} = \frac{F _{0}}{m ω _{0}^{2}} = \frac{F _{0}}{k}$ 。

$A_{m a x}$

分母の根号の中を $u = ω^{2} (u > 0)$ の関数とみて
$f (u) = (ω_{0}^{2} - u)^{2} + 4 γ^{2} u$
とする。 $f^{'} (u) = - 2 (ω_{0}^{2} - u) + 4 γ^{2} = 0$ より $u = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ 。 $γ = ω_{0} /4$ では $u = ω_{0}^{2} - \frac{ω _{0}^{2}}{8} = \frac{7}{8} ω_{0}^{2} > 0$ なので、この $u$ は範囲内にあり、 $f$ は下に凸な 2 次関数だからここで最小となる。最小値は
$f_{m i n} = (2 γ^{2})^{2} + 4 γ^{2} (ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}) = 4 γ^{2} (ω_{0}^{2} - γ^{2})$
よって
$A_{m a x} = \frac{F _{0}}{2 mγ ω _{0}^{2} - γ ^{2}}$

比

$\frac{A _{m a x}}{A _{0}} = \frac{ω _{0}^{2}}{2 γ ω _{0}^{2} - γ ^{2}}$
に $γ = \frac{ω _{0}}{4}$ を代入すると $ω_{0}^{2} - γ^{2} = \frac{15}{4} ω_{0}$ なので
$\frac{A _{m a x}}{A _{0}} = \frac{ω _{0}^{2}}{\frac{ω _{0}}{2} \cdot \frac{15}{4} ω _{0}} = \frac{8}{15} = \frac{8 15}{15} \approx 2.07$

別解

運動方程式 $m x ¨ = - k x - b x ˙ + F_{0} cos ω t$ 。定常振動の振幅は
$A (ω) = \frac{F _{0}}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}}$

$ω \to + 0$ では $A_{0} = \frac{F _{0}}{k}$ 。

$A$ が最大になるのは分母の根号の中 $D (u) = (k - m u)^{2} + b^{2} u$ （ $u = ω^{2} > 0$ ）が最小のとき。 $\frac{d D}{d u} = - 2 m (k - m u) + b^{2} = 0$ より $u = \frac{k}{m} - \frac{b ^{2}}{2 m ^{2}}$ 。 $b^{2} = \frac{mk}{4}$ を代入して $u = \frac{k}{m} - \frac{k}{8 m} = \frac{7 k}{8 m} > 0$ なので、 $ω > 0$ の範囲に最小値がある（ $D$ は $u$ の 2 次式で下に凸なのでこれが最小）。

そのときの $D$ : $k - m u = \frac{k}{8}$ より $D = \frac{k ^{2}}{64} + \frac{mk}{4} \cdot \frac{7 k}{8 m} = \frac{k ^{2}}{64} + \frac{7 k ^{2}}{32} = \frac{15 k ^{2}}{64}$ 。

よって $A_{m a x} = \frac{F _{0}}{15 k /8} = \frac{8 F _{0}}{15 k}$ 。

比は
$\frac{A _{m a x}}{A _{0}} = \frac{8}{15} = \frac{8 15}{15} \approx 2.07$

確かめ: 一般に $Q = \frac{mk}{b} = 2$ として $\frac{A _{m a x}}{A _{0}} = \frac{1}{\frac{1}{Q} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}} = \frac{2}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{2}{15 /4} = \frac{8}{15}$ で一致する。

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