振動・波動の問題

弾性床の上に置かれた十分に長い一様な梁（鉄道のレールのモデル）を考える。梁は $x$ 軸に沿って置かれており、梁の単位長さあたりの質量を $\mu$、曲げ剛性を $D$ とする。梁の下の弾性床は、梁の単位長さあたりばね定数 $\kappa$ のばねとしてはたらく（$\mu >0$, $D>0$, $\kappa >0$）。梁の鉛直方向の微小変位 $u(x,t)$ は、方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-D\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}-\kappa u$$
に従うものとする（減衰と重力によるつり合いの位置からのずれは考えない）。

この梁を伝わる正弦波 $u=A\cos (kx-\omega t)$（$k>0$, $\omega >0$）について、位相速度 $\omega /k$ は $k$ のある値で最小になる。その波数での群速度 $\frac{d\omega }{dk}$ を $\mu$, $D$, $\kappa$ を用いて表せ。

線密度 $\mu$ の十分に長い弦（$x<0$ の部分）と、線密度 $9\mu$ の十分に長い弦（$x>0$ の部分）を原点 $x=0$ でつなぎ、全体を一様な張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張った（$\mu >0$, $T>0$）。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は、それぞれの部分で波動方程式
$$\mu (x)\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従う（$\mu (x)$ はその位置での線密度）。つなぎ目には質量がなく、$x=0$ で変位 $y$ と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ はともに連続であるとする。重力は無視する。

$x<0$ の側から、角振動数 $\omega$ の正弦波 $y=A\cos (k_{1}x-\omega t)$（$A>0$, $k_1>0$）が $x$ 軸の正の向きに入射し、つなぎ目で一部が反射し、一部が $x>0$ の側へ透過する。入射波が運ぶ平均のエネルギーの流れ（仕事率）のうち、透過波が運ぶ割合を求めよ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が、張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張られている（$L>0$, $\mu >0$, $T>0$）。弦の端 $x=0$ は壁に固定されている。もう一方の端 $x=L$ には質量の無視できる小さな輪が付いており、この輪は $x=L$ に鉛直に立てたなめらかな棒に沿って $y$ 方向にだけ自由に動ける。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(0<x<L)$$
に従うものとし、重力・空気抵抗は無視する。

時刻 $t=0$ に弦を
$$y(x,0)=A{\sin }^3\frac{\pi x}{2L}(0\le x\le L)$$
の形にして静かに放した（$A>0$ は定数で、変位は十分小さい。すべての点の初速度は $0$）。$t\ge 0$ における輪の変位 $y(L,t)$ を、$A$, $L$, $\mu$, $T$, $t$ を用いて表せ。

線密度 $\mu =2.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=72\mathrm{N}$ で $x$ 軸に沿ってまっすぐに張る。弦の $x$ 軸からの横方向の変位を $y(x,t)$ とすると、変位と傾きが小さいとき（張力の大きさは一定とみなし、重力は無視する）、弦の微小部分の運動方程式から

$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

が成り立つ。この弦を伝わる横波の速さは何 $m/s$ か。整数で求めよ。

長さ $L=0.80\mathrm{m}$、線密度 $\mu =1.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=64\mathrm{N}$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

に従い、境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ とするとき、${\omega }_3$ は何 $rad/s$ か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。