振動・波動の問題

長さ $L=0.80\mathrm{m}$、線密度 $\mu =1.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=64\mathrm{N}$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

に従い、境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ とするとき、${\omega }_3$ は何 $rad/s$ か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

$0\le x\le a$, $0\le y\le b$（$a=0.30\mathrm{m}$, $b=0.40\mathrm{m}$）の長方形の枠に、一様な膜を一様な張力で張り、周囲を枠に固定する。膜の面に垂直な方向の変位 $u(x,y,t)$ は 2 次元の波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$

に従い、膜を伝わる波の速さは $v=120m/s$ である。周囲では $u=0$ とする（変位は小さく、重力と空気抵抗は無視する）。この膜の基準振動のうち、最も低い振動数は何 $\mathrm{Hz}$ か。整数で求めよ。

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

線密度 $\mu$ の十分に長い弦（$x<0$ の部分）と、線密度 $9\mu$ の十分に長い弦（$x>0$ の部分）を原点 $x=0$ でつなぎ、全体を一様な張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張った（$\mu >0$, $T>0$）。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は、それぞれの部分で波動方程式
$$\mu (x)\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従う（$\mu (x)$ はその位置での線密度）。つなぎ目には質量がなく、$x=0$ で変位 $y$ と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ はともに連続であるとする。重力は無視する。

$x<0$ の側から、角振動数 $\omega$ の正弦波 $y=A\cos (k_{1}x-\omega t)$（$A>0$, $k_1>0$）が $x$ 軸の正の向きに入射し、つなぎ目で一部が反射し、一部が $x>0$ の側へ透過する。入射波が運ぶ平均のエネルギーの流れ（仕事率）のうち、透過波が運ぶ割合を求めよ。

線密度 $\mu$ の弦（$x<0$）と線密度 $4\mu$ の弦（$x>0$）を点 $x=0$ でつなぎ、全体を同じ張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張る。$x<0$ の側から正弦波

$$y_{\mathrm{i}}=A\cos (\omega t-k_{1}x)$$

が入射し、接続点で反射波 $y_{\mathrm{r}}=B\cos (\omega t+k_{1}x)$ と透過波 $y_{\mathrm{t}}=C\cos (\omega t-k_{2}x)$ が生じる。ここで $k_1$, $k_2$ はそれぞれの弦での波数である。接続点では弦の変位と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ が連続であるとする（重力は無視し、変位は小さいとする）。振幅の比 $\frac{B}{A}$ を求めよ。