振動・波動の問題

線密度 $\mu$ の十分に長い弦（$x<0$ の部分）と、線密度 $9\mu$ の十分に長い弦（$x>0$ の部分）を原点 $x=0$ でつなぎ、全体を一様な張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張った（$\mu >0$, $T>0$）。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は、それぞれの部分で波動方程式
$$\mu (x)\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従う（$\mu (x)$ はその位置での線密度）。つなぎ目には質量がなく、$x=0$ で変位 $y$ と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ はともに連続であるとする。重力は無視する。

$x<0$ の側から、角振動数 $\omega$ の正弦波 $y=A\cos (k_{1}x-\omega t)$（$A>0$, $k_1>0$）が $x$ 軸の正の向きに入射し、つなぎ目で一部が反射し、一部が $x>0$ の側へ透過する。入射波が運ぶ平均のエネルギーの流れ（仕事率）のうち、透過波が運ぶ割合を求めよ。

線密度 $\mu =2.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=72\mathrm{N}$ で $x$ 軸に沿ってまっすぐに張る。弦の $x$ 軸からの横方向の変位を $y(x,t)$ とすると、変位と傾きが小さいとき（張力の大きさは一定とみなし、重力は無視する）、弦の微小部分の運動方程式から

$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

が成り立つ。この弦を伝わる横波の速さは何 $m/s$ か。整数で求めよ。

長さ $L=0.80\mathrm{m}$、線密度 $\mu =1.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=64\mathrm{N}$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

に従い、境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ とするとき、${\omega }_3$ は何 $rad/s$ か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

水平な床の上で、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=50N/m$ のばねで壁につながれている。物体は速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=3.0kg/s$）を受け、さらに水平方向の外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0=2.0\mathrm{N}$, $\omega =8.0rad/s$）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である（抵抗力以外の摩擦は無視する）。十分に時間がたったあとの定常状態での振動の振幅は何 $\mathrm{m}$ か。既約分数で求めよ。

十分に深い水の表面を伝わる波（深水波）の角振動数 $\omega$ と波数 $k$ のあいだには、重力加速度の大きさを $g$ として、分散関係

$$\omega =\sqrt{gk}(k>0)$$

が成り立つとする（表面張力は無視する）。位相速度を $v_p=\frac{\omega }{k}$、群速度を $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ とするとき、比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。