振動・波動の問題

長さ $L=0.80\mathrm{m}$、線密度 $\mu =1.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=64\mathrm{N}$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

に従い、境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ とするとき、${\omega }_3$ は何 $rad/s$ か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

十分に深い海の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

沖合の嵐の領域で発生したうねり（周期 $\tau$ の成分がそろった波束）が、海面に沿って一直線に距離 $D$ だけ離れた海岸に向かって進む。波束のエネルギー（波束の包絡線）は群速度で伝わるものとし、途中で海の深さや風の影響は変わらないとする（$\tau >0$, $D>0$）。周期 $\tau$ の成分の波束が、嵐の領域から海岸に届くまでにかかる時間を、$g,\tau ,D$ を用いて表せ。

水平で平らな底をもつ、一様な深さ $h$ の水の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk\tanh (kh)$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

波数が $kh=\log 2$ を満たす波について、群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは $\log 2$ を含む正確な形で表せ。

線密度 $\mu =2.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=72\mathrm{N}$ で $x$ 軸に沿ってまっすぐに張る。弦の $x$ 軸からの横方向の変位を $y(x,t)$ とすると、変位と傾きが小さいとき（張力の大きさは一定とみなし、重力は無視する）、弦の微小部分の運動方程式から

$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

が成り立つ。この弦を伝わる横波の速さは何 $m/s$ か。整数で求めよ。

一様な電離気体（プラズマ）の中を伝わる電磁波は、角振動数 $\omega$ と波数 $k$（$k>0$）の間に分散関係
$${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2$$
を満たす。ここで $c$ は真空中の光速、${\omega }_p>0$ はプラズマ角振動数とよばれる定数である（$\omega >0$ とする）。

角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の電磁波の波束がこのプラズマ中を進むとき、その群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を $c$ を用いて表せ。