弦の接続点での反射と透過

線密度の異なる弦の接続点で変位と傾きが連続である条件から、振幅反射率 $\frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ と振幅透過率 $\frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ （ $Z = T μ$ ）を求め、波が運ぶ平均の仕事率 $\frac{1}{2} Z ω^{2} A^{2}$ から反射・透過するエネルギーの割合を求められる

前提

弦の波動方程式（大学物理振動・波動）

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弦の波動方程式（大学物理振動・波動）

説明

線密度の違う 2 本の弦をつないで張り、片方から波を送ると、つなぎ目で波の一部は反射し、残りは向こう側の弦へ透過します。この技能では、つなぎ目で「変位がつながっている」「傾きがつながっている」という 2 つの条件から、反射波と透過波の振幅が入射波の何倍になるか（振幅反射率 $r = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ 、振幅透過率 $t = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ ）を求めます。ここで $Z = T μ$ は弦の「波の通しにくさ」を表す量（特性インピーダンス）です。さらに、波が運ぶ平均の仕事率 $\frac{1}{2} Z ω^{2} A^{2}$ を使って、入射したエネルギーのうち何割が反射し何割が透過するかを求めます。

なぜそうしてよいのか

$x < 0$ に線密度 $μ_{1}$ 、 $x > 0$ に線密度 $μ_{2}$ の弦があり、 $x = 0$ でつながれ、全体が同じ張力 $T$ で張られているとします（つなぎ目の水平方向の力のつり合いから、両側の張力は等しい）。速さは $v_{1} = T / μ_{1}$ 、 $v_{2} = T / μ_{2}$ です。左から来る入射波を $f (t - \frac{x}{v _{1}})$ 、反射波を $g (t + \frac{x}{v _{1}})$ 、透過波を $h (t - \frac{x}{v _{2}})$ と書きます（ $f (x - v t)$ 型の関数を、 $t$ を先に書いた形に書き直したもの）。

つなぎ目では 2 つの条件が成り立ちます。(1) 弦が切れていないので変位が等しい: $f (t) + g (t) = h (t)$ 。(2) つなぎ目の点には質量がないので、そこにはたらく横向きの力の合計は 0 でなければなりません（そうでないと加速度が無限大になる）。右の弦が引く力の $y$ 成分は $T \frac{\partial y}{\partial x} (0^{+})$ 、左の弦が引く力の $y$ 成分は $- T \frac{\partial y}{\partial x} (0^{-})$ なので、傾きが等しくなります。微分すると $- \frac{f ^{'}}{v _{1}} + \frac{g ^{'}}{v _{1}} = - \frac{h ^{'}}{v _{2}}$ で、両辺に $T$ を掛けると $\frac{T}{v} = T μ = Z$ なので $Z_{1} (f^{'} - g^{'}) = Z_{2} h^{'}$ 。波が届く前はどれも $0$ なので $t$ で積分して $Z_{1} (f - g) = Z_{2} h$ 。これと (1) を連立すると
$g = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} f, h = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}} f .$
$Z_{2} > Z_{1}$ （重い弦へ入る）なら $r < 0$ で、反射波は上下が反転します。

エネルギーについては、点 $x$ より左の部分が右の部分にする仕事率を考えます。左の部分が右の部分を引く力の $y$ 成分は $- T \frac{\partial y}{\partial x}$ 、その点の速度は $\frac{\partial y}{\partial t}$ なので、仕事率は $P = - T \frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial t}$ です。 $y = A cos (ω t - k x)$ （ $k = ω / v$ ）を入れると $P = T k ω A^{2} sin^{2} (ω t - k x) = Z ω^{2} A^{2} sin^{2} (ω t - k x)$ で、 $sin^{2}$ の 1 周期の平均は $\frac{1}{2}$ なので平均の仕事率は $\frac{1}{2} Z ω^{2} A^{2}$ です。角振動数は境界で変わらないので、反射・透過するエネルギーの割合は
$R = \frac{\frac{1}{2} Z _{1} ω ^{2} ( r A ) ^{2}}{\frac{1}{2} Z _{1} ω ^{2} A ^{2}} = r^{2}, T = \frac{\frac{1}{2} Z _{2} ω ^{2} ( t A ) ^{2}}{\frac{1}{2} Z _{1} ω ^{2} A ^{2}} = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} t^{2}$
で、計算すると $R + T = \frac{( Z _{1} - Z _{2} ) ^{2} + 4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = 1$ となり、エネルギーが保存されていることが確かめられます。

手順

それぞれの弦の特性インピーダンス $Z_{1} = T μ_{1}$ 、 $Z_{2} = T μ_{2}$ を求める（張力は両側で等しい）
振幅反射率 $r = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ と振幅透過率 $t = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ を計算する（ $Z_{1}$ は入射側）。 $1 + r = t$ で検算できる
反射波の振幅 $r A$ 、透過波の振幅 $t A$ を求める。 $r < 0$ なら反射波は上下が反転する
エネルギーの割合を平均の仕事率 $\frac{1}{2} Z ω^{2} A^{2}$ の比で求める: 反射 $R = r^{2}$ 、透過 $T = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} t^{2}$ 。 $R + T = 1$ で検算する

例題

張力 $T$ で張られた線密度 $μ$ の弦（ $x < 0$ ）と線密度 $4 μ$ の弦（ $x > 0$ ）が $x = 0$ でつながれている。 $x < 0$ の側から正弦波が入射するとき、入射波が運ぶ平均の仕事率のうち、 $x > 0$ の弦へ透過する割合を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $Z_{1} = T μ$ 、 $Z_{2} = 4 T μ = 2 T μ = 2 Z_{1}$ 。

（手順 2）
$r = \frac{Z _{1} - 2 Z _{1}}{Z _{1} + 2 Z _{1}} = - \frac{1}{3}, t = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + 2 Z _{1}} = \frac{2}{3} .$
検算: $1 + r = \frac{2}{3} = t$ 。

（手順 3）入射波の振幅を $A$ とすると、反射波の振幅は $\frac{1}{3} A$ （上下反転）、透過波の振幅は $\frac{2}{3} A$ 。

（手順 4）透過する仕事率の割合は
$T = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} t^{2} = 2 \times \frac{4}{9} = \frac{8}{9} .$
検算: $R = r^{2} = \frac{1}{9}$ で $R + T = 1$ 。

よって $\frac{8}{9}$ 。

答え: $\frac{8}{9}$

よくある誤り

透過するエネルギーの割合を振幅透過率の 2 乗 $t^{2}$ だけで求めてしまう誤り。正しくは仕事率は $\frac{1}{2} Z ω^{2} A^{2}$ で $Z$ が弦によって違うので $T = \frac{Z _{2}}{Z _{1}} t^{2}$ （上の例題では $\frac{4}{9}$ ではなく $\frac{8}{9}$ ）
特性インピーダンスを波の速さと取り違えて $Z = T / μ$ としてしまう誤り。正しくは $Z = \frac{T}{v} = T μ$ で、重い弦ほど $Z$ が大きい。 $T / μ$ を使うと $r$ の符号が逆になる
振幅について $r + t = 1$ が成り立つと考えてしまう誤り。正しくは変位の連続から $1 + r = t$ で、 $t$ は 1 より大きくなりうる（軽い弦へ入るとき、例えば $Z_{2} = \frac{1}{2} Z_{1}$ なら $t = \frac{4}{3}$ ）。保存するのは振幅ではなくエネルギーで、 $r^{2} + \frac{Z _{2}}{Z _{1}} t^{2} = 1$
反射波の符号を無視して、重い弦へ入るときも反射波が同じ向きに変位するとしてしまう誤り。正しくは $Z_{2} > Z_{1}$ なら $r = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} < 0$ で反射波は上下が反転し（固定端に近い）、 $Z_{2} < Z_{1}$ なら $r > 0$ で反転しない（自由端に近い）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
線密度 $μ$ の弦（ $x < 0$ ）と線密度 $4 μ$ の弦（ $x > 0$ ）を点 $x = 0$ でつなぎ、全体を同じ張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張る。 $x < 0$ の側から正弦波
$y_{i} = A cos (ω t - k_{1} x)$
が入射し、接続点で反射波 $y_{r} = B cos (ω t + k_{1} x)$ と透過波 $y_{t} = C cos (ω t - k_{2} x)$ が生じる。ここで $k_{1}$ , $k_{2}$ はそれぞれの弦での波数である。接続点では弦の変位と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ が連続であるとする（重力は無視し、変位は小さいとする）。振幅の比 $\frac{B}{A}$ を求めよ。
$x = 0$ 線密度 $μ$ 線密度 $4 μ$ 入射波 $T$ $T$

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の演習問題レベル）
線密度 $μ$ の十分に長い弦（ $x < 0$ の部分）と、線密度 $9 μ$ の十分に長い弦（ $x > 0$ の部分）を原点 $x = 0$ でつなぎ、全体を一様な張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張った（ $μ > 0$ , $T > 0$ ）。弦の微小な横変位 $y (x, t)$ は、それぞれの部分で波動方程式
$μ (x) \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = T \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}}$
に従う（ $μ (x)$ はその位置での線密度）。つなぎ目には質量がなく、 $x = 0$ で変位 $y$ と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ はともに連続であるとする。重力は無視する。
$x < 0$ の側から、角振動数 $ω$ の正弦波 $y = A cos (k_{1} x - ω t)$ （ $A > 0$ , $k_{1} > 0$ ）が $x$ 軸の正の向きに入射し、つなぎ目で一部が反射し、一部が $x > 0$ の側へ透過する。入射波が運ぶ平均のエネルギーの流れ（仕事率）のうち、透過波が運ぶ割合を求めよ。
$x = 0$ 線密度 $μ$ 線密度 $9 μ$ 入射波
つなぎ目の左から入射する正弦波（模式図。張力はどちらも $T$ ）