振動・波動の問題

長さ $L=0.80\mathrm{m}$、線密度 $\mu =1.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=64\mathrm{N}$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

に従い、境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ とするとき、${\omega }_3$ は何 $rad/s$ か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

線密度 $\mu =2.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=72\mathrm{N}$ で $x$ 軸に沿ってまっすぐに張る。弦の $x$ 軸からの横方向の変位を $y(x,t)$ とすると、変位と傾きが小さいとき（張力の大きさは一定とみなし、重力は無視する）、弦の微小部分の運動方程式から

$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

が成り立つ。この弦を伝わる横波の速さは何 $m/s$ か。整数で求めよ。

$xy$ 平面上の長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）に、面密度 $\sigma$ の一様な膜が、単位長さあたり $S$ の一様な張力で張られている。膜の周囲（長方形の 4 辺）は固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は波動方程式
$$\sigma \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=S\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従う。

この膜の基準振動は、正の整数の組 $(m,n)$ で $u=\sin \frac{m\pi x}{2a}\sin \frac{n\pi y}{a}\cos ({\omega }_{mn}t+\delta )$ と表され、異なる組 $(m,n)$ は異なる基準振動とみなす。角振動数 ${\omega }_{mn}$ が、最も低い角振動数の $3$ 倍より小さい（$3$ 倍に等しいものは含めない）基準振動はいくつあるか。

面密度 $\rho$ の一様な膜が、単位長さあたりの張力 $\sigma$ で一様に張られ、長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）の周の上で固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は、波動方程式
$$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\sigma \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従い、境界条件は周の上で $u=0$ である。

この膜の基準振動（$u$ が $f(x,y)\cos (\omega t+\varphi )$ の形に書ける振動、$\omega >0$）の振動数を小さい順に調べるとき、空間的な形 $f(x,y)$ が 1 次独立な 2 つ以上の基準振動が同じ振動数をもつ（縮退する）振動数のうち最も小さいものを ${\nu }_{\ast }$ とする。最も低い基準振動の振動数（基本振動数）を ${\nu }_1$ とするとき、比 ${\nu }_{\ast }/{\nu }_1$ を求めよ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦を張力 $T$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式 $\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$ に従う。時刻 $t=0$ で弦を

$$y(x,0)=4a{\sin }^3\frac{\pi x}{L}(0\le x\le L)$$

の形にして、静かに（初速度 $0$ で）放す。ここで $a$ は正の定数で、変位は十分小さいとする。エネルギーの損失はないものとする。弦の全エネルギー（運動エネルギーと張力による位置エネルギーの和）のうち、基本振動（$n=1$ の基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。