振動・波動の問題

$xy$ 平面上の長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）に、面密度 $\sigma$ の一様な膜が、単位長さあたり $S$ の一様な張力で張られている。膜の周囲（長方形の 4 辺）は固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は波動方程式
$$\sigma \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=S\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従う。

この膜の基準振動は、正の整数の組 $(m,n)$ で $u=\sin \frac{m\pi x}{2a}\sin \frac{n\pi y}{a}\cos ({\omega }_{mn}t+\delta )$ と表され、異なる組 $(m,n)$ は異なる基準振動とみなす。角振動数 ${\omega }_{mn}$ が、最も低い角振動数の $3$ 倍より小さい（$3$ 倍に等しいものは含めない）基準振動はいくつあるか。

$0\le x\le a$, $0\le y\le b$（$a=0.30\mathrm{m}$, $b=0.40\mathrm{m}$）の長方形の枠に、一様な膜を一様な張力で張り、周囲を枠に固定する。膜の面に垂直な方向の変位 $u(x,y,t)$ は 2 次元の波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$

に従い、膜を伝わる波の速さは $v=120m/s$ である。周囲では $u=0$ とする（変位は小さく、重力と空気抵抗は無視する）。この膜の基準振動のうち、最も低い振動数は何 $\mathrm{Hz}$ か。整数で求めよ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ が固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従うものとする。弦の力学的エネルギーは
$$E={\int }_0^L\left\{\frac{\mu }{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2+\frac{T}{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2\right\}dx$$
で与えられ、減衰はないものとする。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=\frac{L}{4}$ をつまんで横に $h$（$0<h\ll L$）だけ引き、弦が 2 本の線分からなる形になった状態から静かに（各点の速度 $0$ で）はなした。その後の運動を基準振動 $\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,3,\dots$）の重ね合わせで表すとき、弦の力学的エネルギー $E$ のうち、基本振動（$n=1$）がもつエネルギーの割合を求めよ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、境界条件は $y(0,t)=y(L,t)=0$ である。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/4$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{4h}{L}x& \left(0\le x\le \frac{L}{4}\right)\\ \frac{4h}{3L}(L-x)& \left(\frac{L}{4}\le x\le L\right)\end{array}$$
の形で静止している状態から、静かにはなした（$\partial y/\partial t(x,0)=0$）。$h$ は $L$ に比べて十分小さい。

その後の弦の振動を基準振動の重ね合わせで表すとき、弦の全力学的エネルギーのうち、基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。ただし、弦の運動エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}\mu {\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^{2}dx$、位置エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^{2}dx$ とする。

長さ $L=0.80\mathrm{m}$、線密度 $\mu =1.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=64\mathrm{N}$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

に従い、境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ とするとき、${\omega }_3$ は何 $rad/s$ か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。