長方形の膜の振動

2 次元の波動方程式を周固定の長方形で変数分離し、基準振動 $sin \frac{mπ x}{a} sin \frac{nπ y}{b}$ と振動数 $ν_{mn} = \frac{v}{2} \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$ を求め、振動数を小さい順に並べて縮退する組を見つけられる

前提

両端固定の弦の基準振動（大学物理振動・波動）

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算数中学高校大学大学院

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両端固定の弦の基準振動（大学物理振動・波動）

説明

太鼓の皮のように、周囲を固定してぴんと張った膜も、決まった形と振動数でだけ振動できる基準振動をもちます。この技能では、長方形（辺の長さ $a$ , $b$ ）の膜について 2 次元の波動方程式を変数分離し、基準振動の形 $sin \frac{mπ x}{a} sin \frac{nπ y}{b}$ と振動数 $ν_{mn} = \frac{v}{2} \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$ （ $m, n = 1, 2, 3, \dots$ ）を求めます。さらに振動数を小さい順に並べ、異なる $(m, n)$ の組が同じ振動数をもつ「縮退」を見つけます。弦と違って振動数が基本振動の整数倍に並ばないことが、太鼓の音が弦楽器と違って聞こえる理由の一つです。

なぜそうしてよいのか

膜の面を $x y$ 平面にとり、面に垂直な変位を $u (x, y, t)$ とします（ $y$ は座標なので変位には $u$ を使います）。膜を単位長さあたり $S$ の力（張力）で一様に張り、面密度を $σ$ とすると、微小な長方形 $d x d y$ には、 $x$ 方向の辺から弦と同じ理屈で $S d y \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} d x$ 、 $y$ 方向の辺から $S d x \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} d y$ の力がはたらきます。これを運動方程式 $σ d x d y \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = (力)$ に入れると、2 次元の波動方程式
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = v^{2} (\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}), v = \frac{S}{σ}$
が得られます。弦の式に $y$ 方向の曲がりの項が加わっただけです。

弦と同じように $u = X (x) Y (y) G (t)$ とおいて代入し、 $X Y G$ で割ると
$\frac{G ^{''}}{v ^{2} G} = \frac{X ^{''}}{X} + \frac{Y ^{''}}{Y} .$
$\frac{X ^{''}}{X}$ は $x$ だけの関数ですが、 $x$ だけを変えても左辺と $\frac{Y ^{''}}{Y}$ は変わらないので、 $\frac{X ^{''}}{X}$ は定数です。同様に $\frac{Y ^{''}}{Y}$ も定数です。周が固定されているので $X (0) = X (a) = 0$ 、 $Y (0) = Y (b) = 0$ で、弦の場合と同じ境界値問題になり、 $X = sin \frac{mπ x}{a}$ 、 $\frac{X ^{''}}{X} = - (\frac{mπ}{a})^{2}$ 、 $Y = sin \frac{nπ y}{b}$ 、 $\frac{Y ^{''}}{Y} = - (\frac{nπ}{b})^{2}$ （ $m, n = 1, 2, 3, \dots$ ）です。すると $G^{''} + v^{2} π^{2} (\frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}) G = 0$ で、これは単振動なので
$ω_{mn} = π v \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}, ν_{mn} = \frac{ω _{mn}}{2 π} = \frac{v}{2} \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$
となります。

振動数は 2 つの整数 $m, n$ の組で決まり、 $\frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$ の大きさの順に並びます。この値が同じになる異なる組があると、形の違う基準振動が同じ振動数をもちます（縮退）。例えば正方形（ $a = b$ ）では $m^{2} + n^{2}$ だけで決まるので、 $(1, 2)$ と $(2, 1)$ のように $m, n$ を入れ替えた組は必ず縮退し、さらに $1^{2} + 7^{2} = 5^{2} + 5^{2} = 50$ のように入れ替え以外の縮退も起こります。

手順

膜の波の速さ $v$ と辺の長さ $a, b$ を確認し、振動数の式 $ν_{mn} = \frac{v}{2} \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$ （ $m, n = 1, 2, 3, \dots$ ）を用意する（角振動数なら $ω_{mn} = 2 π ν_{mn}$ ）
$\frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$ （辺の比が簡単なら共通因数でくくった整数式、例: $a = b$ なら $m^{2} + n^{2}$ ）を小さい $m, n$ について表にする
値を小さい順に並べ、同じ値になる異なる組 $(m, n)$ を縮退として見つける
必要な順位の値を振動数の式に戻して $ν_{mn}$ を求める。基準振動の形は $sin \frac{mπ x}{a} sin \frac{nπ y}{b}$

例題

1 辺の長さ $a$ の正方形の膜が周を固定されて張られており、膜を伝わる波の速さは $v$ である。膜の変位 $u$ は 2 次元の波動方程式 $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = v^{2} (\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}})$ に従うとする。基準振動の振動数としてとりうる値のうち、2 番目に小さい値を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $a = b$ なので $ν_{mn} = \frac{v}{2} \frac{m ^{2} + n ^{2}}{a ^{2}} = \frac{v}{2 a} m^{2} + n^{2}$ （ $m, n = 1, 2, \dots$ ）。

（手順 2） $m^{2} + n^{2}$ の値は $(1, 1) \to 2$ 、 $(1, 2) \to 5$ 、 $(2, 1) \to 5$ 、 $(2, 2) \to 8$ 、 $(1, 3), (3, 1) \to 10$ 、…。

（手順 3）小さい順に $2, 5, 8, 10, \dots$ で、値 $5$ には $(1, 2)$ と $(2, 1)$ の 2 つの基準振動が縮退している。

（手順 4）2 番目に小さい値は $m^{2} + n^{2} = 5$ のときで
$ν_{12} = ν_{21} = \frac{5 v}{2 a} .$

答え: $\frac{5 v}{2 a}$

よくある誤り

$m = 0$ や $n = 0$ の組（例: $(1, 0)$ ）も基準振動に含め、最低の振動数を $\frac{v}{2 a}$ としてしまう誤り。正しくは $sin \frac{0 \cdot π y}{b} = 0$ で膜はまったく動かないので $m, n \geq 1$ で、正方形の最低の振動数は $ν_{11} = \frac{2 v}{2 a}$
弦と同じように、振動数が基本振動の整数倍 $ν_{11}, 2 ν_{11}, 3 ν_{11}, \dots$ に並ぶと考えてしまう誤り。正しくは $ν_{mn} \propto m^{2} + n^{2}$ （正方形）なので、 $\frac{ν _{12}}{ν _{11}} = \frac{5}{2} \approx 1.58$ のように整数倍にならない
$m + n$ の小さい順に振動数を並べてしまう誤り。正しくは $\frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$ の順で、例えば $a = 2 b$ なら $\frac{m ^{2}}{4} + n^{2}$ を比べて、 $(3, 1)$ （値 $\frac{13}{4}$ ）は $(1, 2)$ （値 $\frac{17}{4}$ ）より低い
角振動数と振動数を混同して $ν_{mn} = π v \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは変数分離で直接出るのは角振動数 $ω_{mn} = π v \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$ で、振動数は $2 π$ で割って $ν_{mn} = \frac{v}{2} \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 \leq x \leq a$ , $0 \leq y \leq b$ （ $a = 0.30 m$ , $b = 0.40 m$ ）の長方形の枠に、一様な膜を一様な張力で張り、周囲を枠に固定する。膜の面に垂直な方向の変位 $u (x, y, t)$ は 2 次元の波動方程式
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = v^{2} (\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}})$
に従い、膜を伝わる波の速さは $v = 120 m/s$ である。周囲では $u = 0$ とする（変位は小さく、重力と空気抵抗は無視する）。この膜の基準振動のうち、最も低い振動数は何 $Hz$ か。整数で求めよ。
O $x$ $y$ $a = 0.30 m$ $b = 0.40 m$

長方形の膜の振動

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題