振動・波動の問題

面密度 $\rho$ の一様な膜が、単位長さあたりの張力 $\sigma$ で一様に張られ、長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）の周の上で固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は、波動方程式
$$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\sigma \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従い、境界条件は周の上で $u=0$ である。

この膜の基準振動（$u$ が $f(x,y)\cos (\omega t+\varphi )$ の形に書ける振動、$\omega >0$）の振動数を小さい順に調べるとき、空間的な形 $f(x,y)$ が 1 次独立な 2 つ以上の基準振動が同じ振動数をもつ（縮退する）振動数のうち最も小さいものを ${\nu }_{\ast }$ とする。最も低い基準振動の振動数（基本振動数）を ${\nu }_1$ とするとき、比 ${\nu }_{\ast }/{\nu }_1$ を求めよ。

$0\le x\le a$, $0\le y\le b$（$a=0.30\mathrm{m}$, $b=0.40\mathrm{m}$）の長方形の枠に、一様な膜を一様な張力で張り、周囲を枠に固定する。膜の面に垂直な方向の変位 $u(x,y,t)$ は 2 次元の波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$

に従い、膜を伝わる波の速さは $v=120m/s$ である。周囲では $u=0$ とする（変位は小さく、重力と空気抵抗は無視する）。この膜の基準振動のうち、最も低い振動数は何 $\mathrm{Hz}$ か。整数で求めよ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ が固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従うものとする。弦の力学的エネルギーは
$$E={\int }_0^L\left\{\frac{\mu }{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2+\frac{T}{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2\right\}dx$$
で与えられ、減衰はないものとする。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=\frac{L}{4}$ をつまんで横に $h$（$0<h\ll L$）だけ引き、弦が 2 本の線分からなる形になった状態から静かに（各点の速度 $0$ で）はなした。その後の運動を基準振動 $\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,3,\dots$）の重ね合わせで表すとき、弦の力学的エネルギー $E$ のうち、基本振動（$n=1$）がもつエネルギーの割合を求めよ。

弾性床の上に置かれた十分に長い一様な梁（鉄道のレールのモデル）を考える。梁は $x$ 軸に沿って置かれており、梁の単位長さあたりの質量を $\mu$、曲げ剛性を $D$ とする。梁の下の弾性床は、梁の単位長さあたりばね定数 $\kappa$ のばねとしてはたらく（$\mu >0$, $D>0$, $\kappa >0$）。梁の鉛直方向の微小変位 $u(x,t)$ は、方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-D\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}-\kappa u$$
に従うものとする（減衰と重力によるつり合いの位置からのずれは考えない）。

この梁を伝わる正弦波 $u=A\cos (kx-\omega t)$（$k>0$, $\omega >0$）について、位相速度 $\omega /k$ は $k$ のある値で最小になる。その波数での群速度 $\frac{d\omega }{dk}$ を $\mu$, $D$, $\kappa$ を用いて表せ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、境界条件は $y(0,t)=y(L,t)=0$ である。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/4$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{4h}{L}x& \left(0\le x\le \frac{L}{4}\right)\\ \frac{4h}{3L}(L-x)& \left(\frac{L}{4}\le x\le L\right)\end{array}$$
の形で静止している状態から、静かにはなした（$\partial y/\partial t(x,0)=0$）。$h$ は $L$ に比べて十分小さい。

その後の弦の振動を基準振動の重ね合わせで表すとき、弦の全力学的エネルギーのうち、基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。ただし、弦の運動エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}\mu {\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^{2}dx$、位置エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^{2}dx$ とする。