振動・波動の問題

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、境界条件は $y(0,t)=y(L,t)=0$ である。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/4$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{4h}{L}x& \left(0\le x\le \frac{L}{4}\right)\\ \frac{4h}{3L}(L-x)& \left(\frac{L}{4}\le x\le L\right)\end{array}$$
の形で静止している状態から、静かにはなした（$\partial y/\partial t(x,0)=0$）。$h$ は $L$ に比べて十分小さい。

その後の弦の振動を基準振動の重ね合わせで表すとき、弦の全力学的エネルギーのうち、基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。ただし、弦の運動エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}\mu {\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^{2}dx$、位置エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^{2}dx$ とする。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$ と $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、変位は十分小さく、重力・空気抵抗・減衰は無視できるものとする。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/3$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{3h}{L}x& (0\le x\le L/3)\\ \frac{3h}{2L}(L-x)& (L/3\le x\le L)\end{array}$$
の形で静止した状態から静かに放した。

その後の運動で、弦の全力学的エネルギーのうち基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な値で表せ。

面密度 $\rho$ の一様な膜が、単位長さあたりの張力 $\sigma$ で一様に張られ、長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）の周の上で固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は、波動方程式
$$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\sigma \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従い、境界条件は周の上で $u=0$ である。

この膜の基準振動（$u$ が $f(x,y)\cos (\omega t+\varphi )$ の形に書ける振動、$\omega >0$）の振動数を小さい順に調べるとき、空間的な形 $f(x,y)$ が 1 次独立な 2 つ以上の基準振動が同じ振動数をもつ（縮退する）振動数のうち最も小さいものを ${\nu }_{\ast }$ とする。最も低い基準振動の振動数（基本振動数）を ${\nu }_1$ とするとき、比 ${\nu }_{\ast }/{\nu }_1$ を求めよ。

$xy$ 平面上の長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）に、面密度 $\sigma$ の一様な膜が、単位長さあたり $S$ の一様な張力で張られている。膜の周囲（長方形の 4 辺）は固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は波動方程式
$$\sigma \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=S\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従う。

この膜の基準振動は、正の整数の組 $(m,n)$ で $u=\sin \frac{m\pi x}{2a}\sin \frac{n\pi y}{a}\cos ({\omega }_{mn}t+\delta )$ と表され、異なる組 $(m,n)$ は異なる基準振動とみなす。角振動数 ${\omega }_{mn}$ が、最も低い角振動数の $3$ 倍より小さい（$3$ 倍に等しいものは含めない）基準振動はいくつあるか。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が、張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張られている（$L>0$, $\mu >0$, $T>0$）。弦の端 $x=0$ は壁に固定されている。もう一方の端 $x=L$ には質量の無視できる小さな輪が付いており、この輪は $x=L$ に鉛直に立てたなめらかな棒に沿って $y$ 方向にだけ自由に動ける。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(0<x<L)$$
に従うものとし、重力・空気抵抗は無視する。

時刻 $t=0$ に弦を
$$y(x,0)=A{\sin }^3\frac{\pi x}{2L}(0\le x\le L)$$
の形にして静かに放した（$A>0$ は定数で、変位は十分小さい。すべての点の初速度は $0$）。$t\ge 0$ における輪の変位 $y(L,t)$ を、$A$, $L$, $\mu$, $T$, $t$ を用いて表せ。