振動・波動の問題

$a=L/3$ とおき、一般の $a$ で計算してから代入する。初期形状は
$$y_0(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{h}{a}x& (0\le x\le a)\\ \frac{h}{L-a}(L-x)& (a\le x\le L)\end{array}$$
である。

基準振動による展開

両端固定の境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たす基準振動は $\sin k_{n}x$（$k_n=\frac{n\pi }{L}$, $n=1,2,\dots$）で、角振動数は ${\omega }_n=k_n\sqrt{T/\mu }$ である。初速度が $0$ なので
$$y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin k_{n}x\cos {\omega }_{n}t,b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L{y}_0(x)\sin k_{n}xdx$$
となる。

係数 $b_n$ の計算

$k=k_n$ と書く。部分積分により
$${\int }_0^{a}x\sin kxdx=-\frac{a\cos ka}{k}+\frac{\sin ka}{k^2}$$
$${\int }_a^L(L-x)\sin kxdx=\frac{(L-a)\cos ka}{k}-\frac{\sin kL-\sin ka}{k^2}=\frac{(L-a)\cos ka}{k}+\frac{\sin ka}{k^2}$$
（$\sin kL=\sin n\pi =0$ を用いた）。よって
$${\int }_0^L{y}_0\sin kxdx=\frac{h\sin ka}{k^2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{L-a}\right)=\frac{hL\sin ka}{k^{2}a(L-a)}$$
$$b_n=\frac{2h\sin k_{n}a}{k_n^{2}a(L-a)}=\frac{2h{L}^2}{n^2{\pi }^{2}a(L-a)}\sin \frac{n\pi a}{L}$$

各基準振動のエネルギー

弦のエネルギーは
$$E={\int }_0^L\left[\frac{\mu }{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2+\frac{T}{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2\right]dx$$
である。減衰がないのでこれは保存し、さらに $\sin k_{n}x$ どうし、$\cos k_{n}x$ どうしの直交性により異なる基準振動の交差項は積分で消えるので、$E={\sum }_n{E}_n$ と各モードのエネルギーの和に分かれ、各 $E_n$ も個別に保存する。$t=0$ では速度が $0$ なので
$$E_n=\frac{T}{2}{b}_n^2{k}_n^2{\int }_0^L{\cos }^2{k}_{n}xdx=\frac{TL{k}_n^2{b}_n^2}{4}$$
$n=1$ について
$$E_1=\frac{TL}{4}\cdot \frac{{\pi }^2}{L^2}\cdot \frac{4h^2{L}^4{\sin }^2(\pi a/L)}{{\pi }^4{a}^2(L-a{)}^2}=\frac{T{h}^2{L}^3{\sin }^2(\pi a/L)}{{\pi }^2{a}^2(L-a{)}^2}$$

全エネルギー

全エネルギーは初期の弾性エネルギーに等しい:
$$E=\frac{T}{2}\left[{\left(\frac{h}{a}\right)}^{2}a+{\left(\frac{h}{L-a}\right)}^2(L-a)\right]=\frac{T{h}^{2}L}{2a(L-a)}$$

割合

$$\frac{E_1}{E}=\frac{2L^2{\sin }^2(\pi a/L)}{{\pi }^{2}a(L-a)}$$
$a=L/3$ を代入すると $a(L-a)=\frac{2L^2}{9}$、${\sin }^2\frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}$ より
$$\frac{E_1}{E}=\frac{2L^2\cdot \frac{3}{4}}{{\pi }^2\cdot \frac{2L^2}{9}}=\frac{27}{4{\pi }^2}\approx 0.684$$

（具体的には $b_1=\frac{9\sqrt{3}h}{2{\pi }^2}$、$E_1=\frac{243T{h}^2}{16{\pi }^{2}L}$、$E=\frac{9T{h}^2}{4L}$ であり、比をとっても同じ値になる。）

両端固定の弦の基準振動は $\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,\dots$）で、初速度 0 なので $y(x,t)={\sum }_n{b}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\cos {\omega }_{n}t$（${\omega }_n=\frac{n\pi }{L}\sqrt{T/\mu }$）と書ける。ここで $b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}y(x,0)\sin \frac{n\pi x}{L}dx$。

高さ $h$ の頂点が $x=a$ にある三角形の初期形に対する係数は、部分積分により $b_n=\frac{2h{L}^2}{n^2{\pi }^{2}a(L-a)}\sin \frac{n\pi a}{L}$。$a=\frac{L}{3}$ では $a(L-a)=\frac{2L^2}{9}$ なので
$$b_n=\frac{9h}{n^2{\pi }^2}\sin \frac{n\pi }{3}$$
特に $b_1=\frac{9h}{{\pi }^2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$。

各モードのエネルギー: 全エネルギーは保存し、$t=0$ では静止しているので全部ポテンシャルエネルギー $E=\frac{T}{2}{\int }_0^L{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^{2}dx$。モード $n$ のエネルギーは $E_n=\frac{T}{2}\cdot \frac{L}{2}{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2{b}_n^2=\frac{T{\pi }^2}{4L}{n}^2{b}_n^2$（モード間の交差項は直交性により消える）。よって割合は $E_1/E=\frac{b_1^2}{\sum n^2{b}_n^2}$。

分母: $\sum n^2{b}_n^2=\frac{2L}{{\pi }^2}{\int }_0^L(y^{\prime }{)}^{2}dx$。傾きは $0\le x\le \frac{L}{3}$ で $\frac{3h}{L}$、$\frac{L}{3}\le x\le L$ で $-\frac{3h}{2L}$ だから
$${\int }_0^L(y^{\prime }{)}^{2}dx=\frac{9h^2}{L^2}\cdot \frac{L}{3}+\frac{9h^2}{4L^2}\cdot \frac{2L}{3}=\frac{3h^2}{L}+\frac{3h^2}{2L}=\frac{9h^2}{2L}$$
よって $\sum n^2{b}_n^2=\frac{2L}{{\pi }^2}\cdot \frac{9h^2}{2L}=\frac{9h^2}{{\pi }^2}$。

分子: $b_1^2=\frac{81h^2}{{\pi }^4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{243h^2}{4{\pi }^4}$。

割合: $\frac{243h^2}{4{\pi }^4}/\frac{9h^2}{{\pi }^2}=\frac{27}{4{\pi }^2}\approx 0.684$。

確かめ: $n=2$ では $2^2{b}_2^2=\frac{243h^2}{16{\pi }^4}$ で割合は $\frac{27}{16{\pi }^2}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1}\approx 0.171$（$n=3$ は $\sin \pi =0$ で 0）。$0.684+0.171=0.855<1$ で、残りは $n=4,5,\dots$ の分（$n=4$: $\frac{27}{4{\pi }^2}\cdot \frac{1}{16}\cdot ...$ など）で、1 を超えず矛盾しない。