電磁波の遮断と遮断密度

分散関係 $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ から、電磁波が伝わる条件 $ω > ω_{p}$ と遮断密度 $n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}}$ を求め、位相速度・群速度の測定値から電子密度を求められる

前提

電子プラズマ振動（大学物理プラズマ物理）
プラズマ中の電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
分散関係と群速度（大学物理振動・波動）

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算数中学高校大学大学院

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並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
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電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
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相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
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三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
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運動方程式（高校物理力と運動）
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関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
電流の微視的モデル（高校物理電流と回路）
プラズマ中の電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
分散関係と群速度（大学物理振動・波動）

説明

プラズマ中の電磁波は、角振動数 $ω$ が電子プラズマ角振動数 $ω_{p}$ より高いときだけ伝わり、低いと中に入れずに反射されます。これを遮断（カットオフ）といい、与えられた $ω$ の電磁波がちょうど遮断される電子密度を遮断密度 $n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}}$ といいます。電離層で短波が反射される理由や、マイクロ波の通過・反射や位相速度・群速度の測定からプラズマの電子密度を求める（干渉計・反射計）場面で使います。

なぜそうしてよいのか

プラズマ中の電磁波の分散関係は $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ 、すなわち
$k^{2} = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c ^{2}}$
です。 $ω > ω_{p}$ なら $k^{2} > 0$ で $k$ は実数になり、 $e^{i (k x - ω t)}$ は空間的に振動しながら進む波です。ところが $ω < ω_{p}$ だと $k^{2} < 0$ で、 $k = \pm iκ$ （ $κ = \frac{ω _{p}^{2} - ω ^{2}}{c} > 0$ ）と純虚数になります。このとき $e^{ik x} = e^{\mp κ x}$ は振動せず、指数関数的に減衰するだけ（発散する解は物理的に除く）なので、波は奥へ伝わらず、エネルギーは入射側へ反射されます。直観的には、 $ω < ω_{p}$ では電子が電場の変化に十分速く追従して動き、電場を打ち消してしまうのです。

境目は $ω = ω_{p}$ で、 $ω_{p}^{2} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ を使って $n_{e}$ について解くと遮断密度
$n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}}$
が出ます。電子密度が $n_{e} < n_{c}$ なら伝わり、 $n_{e} > n_{c}$ なら遮断されます。 $\frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} = \frac{n _{e}}{n _{c}}$ と書けるので、密度と周波数の関係を比で扱えて便利です。

伝わる場合、位相速度と群速度は
$v_{p} = \frac{ω}{k} = \frac{c}{1 - n _{e} / n _{c}}, v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{c ^{2} k}{ω} = c 1 - \frac{n _{e}}{n _{c}}$
です（ $v_{g}$ は分散関係を $k$ で微分した $2 ω \frac{d ω}{d k} = 2 c^{2} k$ から）。 $v_{p} > c$ 、 $v_{g} < c$ 、 $v_{p} v_{g} = c^{2}$ で、密度が遮断密度に近づくほど $v_{g} \to 0$ になります。測った $v_{p}$ または $v_{g}$ と $ω$ から $\frac{n _{e}}{n _{c}}$ が決まり、電子密度がわかります。

手順

電磁波の角振動数 $ω$ から遮断密度 $n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}}$ を求める（または電子密度から $ω_{p} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ を求める）
伝わるかどうかを判定する: $ω > ω_{p}$ （ $n_{e} < n_{c}$ ）なら伝わり、 $ω < ω_{p}$ （ $n_{e} > n_{c}$ ）なら遮断されて反射する
伝わる場合は $k = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c}$ から $v_{p} = \frac{c}{1 - n _{e} / n _{c}}$ 、 $v_{g} = c 1 - n_{e} / n_{c}$ を書く
測定値から密度を求めるときは、 $v_{g}$ や $v_{p}$ の式を $\frac{n _{e}}{n _{c}}$ について解き、 $n_{e} = \frac{n _{e}}{n _{c}} \cdot \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}}$ とする

例題

一様なプラズマ中を角振動数 $ω$ の電磁波が伝わり、その群速度を測ったところ $\frac{c}{2}$ であった。電磁波の分散関係を $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ 、 $ω_{p}^{2} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ とする（ $c$ は真空中の光速、 $e$ は電気素量、 $m_{e}$ は電子の質量）。電子密度 $n_{e}$ を $ε_{0}, m_{e}, ω, e$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 遮断密度は $n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}}$ で、 $\frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} = \frac{n _{e}}{n _{c}}$ である。

手順 2: 波が伝わっているので $ω > ω_{p}$ 、つまり $n_{e} < n_{c}$ である。

手順 3: 分散関係を $k$ で微分すると $2 ω \frac{d ω}{d k} = 2 c^{2} k$ なので
$v_{g} = \frac{c ^{2} k}{ω} = \frac{c ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{ω} = c 1 - \frac{n _{e}}{n _{c}}$

手順 4: $v_{g} = \frac{c}{2}$ より $1 - \frac{n _{e}}{n _{c}} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{n _{e}}{n _{c}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ （ $n_{e} < n_{c}$ を満たす）。よって
$n_{e} = \frac{3}{4} n_{c} = \frac{3 ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{4 e ^{2}}$

答え: $\frac{3 ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{4 e ^{2}}$

よくある誤り

遮断の条件を逆に覚えて、 $ω < ω_{p}$ の低い周波数ほどよく通るとしてしまう誤り。 $k^{2} = \frac{ω ^{2} - ω _{p}^{2}}{c ^{2}}$ が正になるのは $ω > ω_{p}$ なので、正しくは高い周波数（ $n_{e} < n_{c}$ ）だけが伝わる
遮断密度を周波数 $f$ と角振動数 $ω$ を取り違えて $n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} f ^{2}}{e ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは $n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}} = \frac{4 π ^{2} ε _{0} m _{e} f ^{2}}{e ^{2}}$
群速度と位相速度を取り違えて $v_{g} = \frac{c}{1 - n _{e} / n _{c}}$ （光速より大きい）としてしまう誤り。正しくは $v_{g} = c 1 - n_{e} / n_{c} < c$ 、 $v_{p} = \frac{c}{1 - n _{e} / n _{c}} > c$ で、 $v_{p} v_{g} = c^{2}$
群速度の式から $\frac{n _{e}}{n _{c}} = 1 - \frac{v _{g}}{c}$ としてしまう誤り（2 乗を忘れる）。正しくは $\frac{n _{e}}{n _{c}} = 1 - \frac{v _{g}^{2}}{c ^{2}}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
電子密度 $n$ の一様な冷たいプラズマ中を、角振動数 $ω$ の電磁波が伝わる。イオンは動かないとし、電磁波の分散関係は
$ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}, ω_{p}^{2} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$
で与えられるものとする。ここで $k$ は波数、 $c$ は真空中の光速、 $e$ は電気素量、 $m_{e}$ は電子の質量、 $ε_{0}$ は真空の誘電率である。
この電磁波の位相速度 $v_{p} = \frac{ω}{k}$ を測定したところ、 $v_{p} = 2 c$ であった。電子密度 $n$ を、 $ε_{0}$ , $m_{e}$ , $ω$ , $e$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

密度が変化するプラズマでの電磁波の反射（大学物理プラズマ物理）