電子プラズマ振動

一様なプラズマ中で電子の層をずらしたときの復元力（ガウスの法則による電場 $E = \frac{n e ξ}{ε _{0}}$ ）から単振動の運動方程式を立て、電子プラズマ角振動数 $ω_{p} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ を求められる

前提

ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）

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単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）

説明

プラズマの中で電子の集団が少しだけずれると、残された陽イオンとの間に電場が生じ、電子を元の位置へ引き戻します。電子は慣性で行き過ぎるので、元の位置のまわりで単振動をします。これを電子プラズマ振動といい、その角振動数 $ω_{p} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ は電子密度だけで決まる、プラズマのもっとも基本的な時間の尺度です。電波がプラズマ（電離層など）を通り抜けられるかどうかの目安や、プラズマ中の速い現象の時間スケールを見積もる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

数密度 $n_{e}$ の電子（電荷 $- e$ 、質量 $m_{e}$ ）と、同じ電荷密度をもつ陽イオンが一様に混ざって全体として中性な、 $x$ 軸に垂直で横方向（ $y$ , $z$ 方向）に十分広い板状の領域を考えます。イオンは電子よりはるかに重いので、短い時間では動かないとします。いま、電子だけを全体として板の厚さ方向（ $x$ 方向）に $ξ$ だけずらします（ $ξ$ は板の厚さよりずっと小さい）。すると、板の一方の面には電子がはみ出した厚さ $ξ$ の層（面電荷密度 $- n_{e} e ξ$ ）、反対の面には電子が抜けてイオンだけが残った厚さ $ξ$ の層（面電荷密度 $+ n_{e} e ξ$ ）ができます。内部はずれても電子とイオンが重なっているので中性のままです。

これは平行板コンデンサーと同じ配置です。ガウスの法則により、面電荷密度 $σ$ の広い平面は両側に大きさ $\frac{σ}{2 ε _{0}}$ の電場をつくり、 $\pm σ$ の 2 枚の間では 2 つが同じ向きに重なって $E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{n _{e} e ξ}{ε _{0}}$ 、外側では打ち消し合って 0 です。電場は正の層から負の層へ、すなわち電子がずれた向きと同じ $+ x$ 向きを向くので、電子が受ける力 $- e E$ はずれと逆向きの $- \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0}} ξ$ になります。なお、この「平行板」の電場は領域が横に十分広い 1 次元的な配置だから成り立つもので、例えば球状の領域で電子をずらすと電場は $\frac{n _{e} e ξ}{3 ε _{0}}$ となり、振動の角振動数も $ω_{p} / 3$ に変わります。 $ω_{p}$ は板状（1 次元的）にずれる振動の角振動数です。

この力はずれ $ξ$ に比例して逆向きなので、ばねの復元力と同じ形です。運動方程式は $m_{e} ξ ¨ = - \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0}} ξ$ 、つまり $ξ ¨ = - ω^{2} ξ$ の形で、単振動の加速度の式 $a = - ω^{2} x$ と比べて $ω_{p}^{2} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ と読み取れます。ずれの大きさ $ξ$ が式から消えるので、振幅によらず角振動数は密度だけで決まります。

手順

イオンは動かないとし、横に十分広い板状の領域で電子の集団を厚さ方向に一様に $ξ$ だけずらした状況を考える。両面にできる電荷層の面電荷密度 $\pm n_{e} e ξ$ を求める
ガウスの法則で電荷層の間の電場を求める: $E = \frac{n _{e} e ξ}{ε _{0}}$ （向きはずれと同じ向き）
電子 1 個にはたらく力を $F = - e E = - \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0}} ξ$ と書き、運動方程式 $m_{e} ξ ¨ = - \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0}} ξ$ を立てる
$ξ ¨ = - ω^{2} ξ$ と比べて $ω_{p} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ を読み取り、必要なら周期 $T = \frac{2 π}{ω _{p}}$ や振動数 $f = \frac{ω _{p}}{2 π}$ に直す

例題

電子（電荷 $- e$ 、質量 $m_{e}$ ）の数密度が $n_{e}$ の一様なプラズマが、 $x$ 軸に垂直で横方向（ $y$ , $z$ 方向）に十分広い板状の領域を占めている。陽イオンは電子と同じ大きさの電荷密度で一様に分布していて動かないものとする。電子の集団を全体として板の厚さ方向（ $x$ 方向）に板の厚さよりずっと小さい距離だけ一様にずらして放すと、電子は単振動をする。この振動の周期 $T$ を $n_{e}, e, m_{e}, ε_{0}$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 電子を $ξ$ だけずらすと、板の両面に厚さ $ξ$ の電荷層ができ、面電荷密度は $+ n_{e} e ξ$ （電子が抜けた側）と $- n_{e} e ξ$ （電子がはみ出した側）である。

手順 2: 領域は横に十分広いので、それぞれの層は広い平面とみなせ、ガウスの法則により両側に $\frac{n _{e} e ξ}{2 ε _{0}}$ の電場をつくる。2 層の間では重なって
$E = \frac{n _{e} e ξ}{ε _{0}}$
向きは正の層から負の層へ、つまりずれの向きである。

手順 3: 電子 1 個にはたらく力は $- e E = - \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0}} ξ$ なので
$m_{e} ξ ¨ = - \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0}} ξ$

手順 4: $ξ ¨ = - ω_{p}^{2} ξ$ の形で $ω_{p} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ 。周期は
$T = \frac{2 π}{ω _{p}} = 2 π \frac{ε _{0} m _{e}}{n _{e} e ^{2}}$

答え: $2 π \frac{ε _{0} m _{e}}{n _{e} e ^{2}}$

よくある誤り

1 枚の電荷層の電場 $\frac{n _{e} e ξ}{2 ε _{0}}$ だけを使い $ω^{2} = \frac{n _{e} e ^{2}}{2 ε _{0} m _{e}}$ としてしまう誤り。正しくは $\pm$ の 2 層の電場が間で重なって $E = \frac{n _{e} e ξ}{ε _{0}}$ 、 $ω_{p}^{2} = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$
電荷を 1 乗しか入れず $ω_{p}^{2} = \frac{n _{e} e}{ε _{0} m _{e}}$ としてしまう誤り。電場をつくる電荷密度に $e$ が 1 つ、電子が受ける力 $- e E$ にもう 1 つ入るので、正しくは $e^{2}$
角振動数と振動数を混同して $f = \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ としてしまう誤り。正しくは $f = \frac{ω _{p}}{2 π} = \frac{1}{2 π} \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$
領域の形を考えずに、どんな形のプラズマでも電子の集団全体の振動の角振動数が $ω_{p}$ になるとしてしまう誤り。 $E = \frac{n _{e} e ξ}{ε _{0}}$ は横に十分広い板状の配置での電場で、たとえば球状の領域全体の電子をずらすと $E = \frac{n _{e} e ξ}{3 ε _{0}}$ 、角振動数は $\frac{ω _{p}}{3}$ になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
電子密度 $n_{e} = 1.0 \times 1 0^{18} m^{- 3}$ の一様なプラズマがある。イオンは動かず一様な正の電荷の背景をつくり、電子の熱運動と衝突は無視できるものとする。電子の層全体を $x$ 方向に小さな距離 $ξ$ だけずらすと、ずれた部分に現れる電荷がつくる電場によって電子に復元力がはたらき、電子は単振動する。
電気素量を $e = 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ 、電子の質量を $m_{e} = 9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ 、真空の誘電率を $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ とする。この振動の角振動数（電子プラズマ角振動数） $ω_{p}$ は何 rad/s か。有効数字 2 桁で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の演習問題レベル）
磁場のない一様な冷たい電子プラズマが、厚さ $L = 0.30 m$ の平板状の領域を満たしている。電子密度は $n = 1.0 \times 1 0^{18} m^{- 3}$ である。イオンは動かない一様な正電荷の背景とみなし、衝突は無視する。
このプラズマ板に、周波数 $f = 15 GHz$ の電磁波のパルス（狭い周波数幅の波束）を板の面に垂直に入射させる。パルスはプラズマの中を群速度で進むものとし、板の境界での反射は考えない。
パルスがプラズマ板を通り抜けるのにかかる時間は、同じ厚さの真空を通り抜ける時間より $Δ t$ だけ長い。 $Δ t$ を ns 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。
電気素量 $e = 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ 、電子の質量 $m = 9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ 、真空の誘電率 $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ 、真空中の光速 $c = 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ とし、SI 単位系を用いる。

この技能の次に学べること

電磁波の遮断と遮断密度（大学物理プラズマ物理）