プラズマ物理の問題

電子密度 $n_e=1.0\times 10^{17}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子温度 $T_e$ が $k_B{T}_e=2.0\mathrm{eV}$ に相当する電離したプラズマがある。イオンは動かないものとし、遮蔽には電子だけが寄与するとして、デバイ長
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{e}^2}}$$
を計算する。真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$（$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$）とする。

このプラズマのデバイ長は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

磁場のない一様な冷たいプラズマがあり、電子密度は $n_e=1.00\times 10^{18}{\mathrm{m}}^{-3}$ である。このプラズマの中を、周波数 $f=15.0\mathrm{GHz}$ のマイクロ波（横波の電磁波）が伝わる。マイクロ波の群速度の大きさを $m/s$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、イオンは重いので動かないとし、電子の熱運動と衝突は無視する。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^{8}m/s$、$\pi =3.1416$ とする。

電子密度 $n$ の一様な冷たいプラズマ中を、角振動数 $\omega$ の電磁波が伝わる。イオンは動かないとし、電磁波の分散関係は
$${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2,{\omega }_p^2=\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}$$
で与えられるものとする。ここで $k$ は波数、$c$ は真空中の光速、$e$ は電気素量、$m_e$ は電子の質量、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

この電磁波の位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ を測定したところ、$v_p=2c$ であった。電子密度 $n$ を、${\epsilon }_0$, $m_e$, $\omega$, $e$ を用いて表せ。

$x<0$ は真空、$x\ge 0$ はプラズマで、プラズマの電子密度は $x$ だけに依存し、
$$n(x)=n_c\frac{x}{L}(x\ge 0)$$
とゆるやかに増加している（$L>0$ は定数）。ここで $n_c=\frac{{\epsilon }_0{m}_e{\omega }^2}{e^2}$ は角振動数 $\omega$ の電磁波に対する遮断密度であり、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$m_e$ は電子の質量、$e$ は電気素量である。プラズマ中の電磁波の局所的な分散関係は ${\omega }^2={\omega }_p(x{)}^2+c^2(k_x^2+k_y^2)$、${\omega }_p(x{)}^2=\frac{n(x)e^2}{{\epsilon }_0{m}_e}$ で与えられ、イオンは動かず、磁場はないものとする。$c$ は真空中の光速である。

真空側から角振動数 $\omega$ の電磁波が、$xy$ 平面内で $x$ 軸の正の向きと $60^{\circ }$ の角をなす向きに入射した。電磁波が反射される位置（$k_x=0$ となる位置）の $x$ 座標を、$L$ を用いて表せ。

磁場のない一様な冷たい電子プラズマが、厚さ $L=0.30\text{m}$ の平板状の領域を満たしている。電子密度は $n=1.0\times 10^{18}{\text{m}}^{-3}$ である。イオンは動かない一様な正電荷の背景とみなし、衝突は無視する。

このプラズマ板に、周波数 $f=15\text{GHz}$ の電磁波のパルス（狭い周波数幅の波束）を板の面に垂直に入射させる。パルスはプラズマの中を群速度で進むものとし、板の境界での反射は考えない。

パルスがプラズマ板を通り抜けるのにかかる時間は、同じ厚さの真空を通り抜ける時間より $\Delta t$ だけ長い。$\Delta t$ を ns 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$、電子の質量 $m=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{F/m}$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とし、SI 単位系を用いる。