プラズマ物理

電子密度 $n_e=1.0\times 10^{17}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子温度 $T_e$ が $k_B{T}_e=2.0\mathrm{eV}$ に相当する電離したプラズマがある。イオンは動かないものとし、遮蔽には電子だけが寄与するとして、デバイ長
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{e}^2}}$$
を計算する。真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$（$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$）とする。

このプラズマのデバイ長は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

電子密度 $n_e=1.0\times 10^{18}{\mathrm{m}}^{-3}$ の一様なプラズマがある。イオンは動かず一様な正の電荷の背景をつくり、電子の熱運動と衝突は無視できるものとする。電子の層全体を $x$ 方向に小さな距離 $\xi$ だけずらすと、ずれた部分に現れる電荷がつくる電場によって電子に復元力がはたらき、電子は単振動する。

電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、電子の質量を $m_e=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$ とする。この振動の角振動数（電子プラズマ角振動数）${\omega }_p$ は何 rad/s か。有効数字 2 桁で答えよ。

真空中に、大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子が、磁場の向きと $60^{\circ }$ の角をなす向きに速さ $v$ で入射した。粒子にはたらく力は磁場からのローレンツ力だけとし、重力は無視する。また、相対論的効果は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（粒子が 1 回旋回する間に磁場の方向に進む距離）を、$m$, $q$, $B$, $v$ を用いて表せ。

真空中に、一様な磁場で閉じ込められたプラズマの柱がある。プラズマと外側の真空は鋭い境界で接しており、境界は静止して力学的に釣り合っている。境界の外側（真空）の磁場は一様で大きさ $B_e$、境界の内側（プラズマ中）の磁場は一様で大きさ $B_i$ であり、どちらも境界面に平行である。プラズマ中の圧力は一様で $p$ であり、真空中の圧力は $0$ とする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、$0<2{\mu }_{0}p<B_e^2$ とする。

プラズマ中の磁場の大きさ $B_i$ を、$B_e$, $p$, ${\mu }_0$ を用いて表せ。

電子密度 $n$、電子温度 $T$ の一様なプラズマがある。デバイ長を
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{B}T}{n{e}^2}}$$
とし、デバイ球（半径 ${\lambda }_D$ の球）の中の電子の数を
$$N_D=\frac{4\pi }{3}n{\lambda }_D^3$$
で定める。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数、$e$ は電気素量である。

このプラズマの電子温度を $4$ 倍、電子密度を $16$ 倍にしたとき、$N_D$ はもとの何倍になるか。整数で答えよ。

電子密度 $n$ の一様な冷たいプラズマ中を、角振動数 $\omega$ の電磁波が伝わる。イオンは動かないとし、電磁波の分散関係は
$${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2,{\omega }_p^2=\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}$$
で与えられるものとする。ここで $k$ は波数、$c$ は真空中の光速、$e$ は電気素量、$m_e$ は電子の質量、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

この電磁波の位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ を測定したところ、$v_p=2c$ であった。電子密度 $n$ を、${\epsilon }_0$, $m_e$, $\omega$, $e$ を用いて表せ。

$z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を $x$ 軸の正の向きに速さ $v_0$ で通過した。粒子には、ローレンツ力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ のほかに、衝突による抵抗力 $-m\nu \mathbf{v}$（$\nu >0$ は定数の衝突周波数）がはたらき、ほかの力（重力など）は無視できるとする。相対論的効果は無視する。${\omega }_c=\frac{qB}{m}$ とおく。

粒子は $xy$ 平面内を運動し、やがて止まる。粒子が止まるまでに到達する点の座標 $(X,Y)$ を、$v_0$, $\nu$, ${\omega }_c$ を用いて $(X,Y)$ の順の組で表せ。

真空中に、一様で時間変化しない電場 $\mathbf{E}=(300,400,0)V/m$ と磁場 $\mathbf{B}=(0,0,0.50)\mathrm{T}$ がある（成分は $xyz$ 直交座標で表す）。この中を陽子が運動しており、その案内中心は $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトをしている。重力と相対論的効果は無視し、案内中心の磁場に平行な速度成分は $0$ とする。

案内中心のドリフト速度の $x$ 成分と $y$ 成分を、単位 $m/s$ でこの順の組で求めよ。答えは正確な値（整数）で書け。

$xyz$ 直交座標で、平面 $y=0$ を境に磁場が不連続に変わっている。$y>0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な磁場が、$y<0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $2B$ の一様な磁場がある（$B>0$）。電場はない。

質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を $y$ 軸の正の向きに速さ $v$ で通過した。粒子は $xy$ 平面内で、2 つの領域の円弧を交互にたどりながら境界に沿って移動していく。重力と相対論的効果は無視する。

粒子が $y>0$ の領域で 1 回、$y<0$ の領域で 1 回の円弧を描いて、再び原点を通過したときと同じ向き（$y$ 軸の正の向き）で境界を通過するまでを 1 周期とする。1 周期にわたって平均した粒子の速度の $x$ 成分を、$v$ を用いて表せ。

半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（z ピンチ）がある。円柱座標 $(r,\phi ,z)$ を、円柱の中心軸を $z$ 軸にとって定める。プラズマ中（$0\le r\le a$）には $z$ 軸の正の向きに一様な電流密度 $J_0(>0)$ の電流が流れ、$r>a$ には電流は流れていない。磁場は電流がつくる周方向成分 $B_{\phi }(r)$ だけであり、プラズマは静止した MHD 平衡
$$\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B},\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$$
にあるとする。圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、表面では $p(a)=0$ とする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。

中心軸上の圧力 $p(0)$ を、${\mu }_0$, $J_0$, $a$ を用いて表せ。

$x<0$ は真空、$x\ge 0$ はプラズマで、プラズマの電子密度は $x$ だけに依存し、
$$n(x)=n_c\frac{x}{L}(x\ge 0)$$
とゆるやかに増加している（$L>0$ は定数）。ここで $n_c=\frac{{\epsilon }_0{m}_e{\omega }^2}{e^2}$ は角振動数 $\omega$ の電磁波に対する遮断密度であり、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$m_e$ は電子の質量、$e$ は電気素量である。プラズマ中の電磁波の局所的な分散関係は ${\omega }^2={\omega }_p(x{)}^2+c^2(k_x^2+k_y^2)$、${\omega }_p(x{)}^2=\frac{n(x)e^2}{{\epsilon }_0{m}_e}$ で与えられ、イオンは動かず、磁場はないものとする。$c$ は真空中の光速である。

真空側から角振動数 $\omega$ の電磁波が、$xy$ 平面内で $x$ 軸の正の向きと $60^{\circ }$ の角をなす向きに入射した。電磁波が反射される位置（$k_x=0$ となる位置）の $x$ 座標を、$L$ を用いて表せ。

$xyz$ 直交座標で、磁場がつねに $z$ 軸の正の向きを向き、その大きさが
$$B(x)=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)$$
で与えられる静磁場がある（$B_0>0$, $L>0$ は定数）。電場はない。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、案内中心が $x=0$ の位置にある状態で磁場のまわりを旋回しており、磁場に垂直な方向の運動エネルギーは $W_{\perp }$ である。磁場に平行な速度成分は $0$ とする。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、勾配ドリフトの公式
$${\mathbf{v}}_{\nabla B}=\frac{W_{\perp }}{q{B}^3}\mathbf{B}\times \nabla B$$
が使えるものとする。重力と相対論的効果は無視する。

案内中心が $x=0$ にあるときの勾配ドリフト速度の $y$ 成分を、$W_{\perp }$, $q$, $B_0$, $L$ を用いて表せ。

電子密度 $n_e$、電子温度 $T_e$ の一様な電離プラズマを考える。電子のデバイ長 ${\lambda }_D$ と、プラズマパラメータ（デバイ球の中の電子の数）$N_D$ を、SI 単位系で
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{e}^2}},N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
で定義する。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数、$e$ は電気素量である。イオンによる遮蔽の寄与は考えない。

プラズマ A の電子密度と電子温度をそれぞれ $n_0$, $T_0$ とする。プラズマ B は、電子温度が A の $4$ 倍、電子密度が A の $\frac{1}{9}$ 倍である。プラズマ B のプラズマパラメータは、プラズマ A のプラズマパラメータの何倍か。

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、運動エネルギー $K$ をもち、磁場の向きと角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす向きに運動している。電場はなく、粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射によるエネルギー損失は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（サイクロトロン運動の 1 周期の間に、粒子が磁場の方向に進む距離）を $q$, $m$, $K$, $B$, $\theta$ を用いて表せ。

電子と 2 価の陽イオン（電荷 $+2e$）だけからなる一様なプラズマが、全体として電気的に中性な熱平衡状態にある。電子密度を $n_e$、電子温度を $T_e$、イオン温度を $T_i=\frac{T_e}{2}$ とする。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、ボルツマン定数を $k_B$、電気素量を $e$ とする。

デバイ遮蔽を線形近似（$|q\varphi |\ll k_{B}T$）で扱うと、電子とイオンの両方の応答を考えたデバイ長 ${\lambda }_D$ は
$$\frac{1}{{\lambda }_D^2}=\sum _s\frac{n_s{q}_s^2}{{\epsilon }_0{k}_B{T}_s}$$
（和は電子とイオンについてとる。$n_s,q_s,T_s$ はそれぞれの粒子種の密度・電荷・温度）で与えられる。一方、電子の応答だけを考えたデバイ長を ${\lambda }_{De}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{e}^2}}$ とする。

プラズマパラメータを「半径がデバイ長の球の中にある電子の数」と定め、${\lambda }_D$ を用いたものを $N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$、${\lambda }_{De}$ を用いたものを $N_{De}=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_{De}^3$ とする。比 $\frac{N_D}{N_{De}}$ を、根号を含む最も簡単な形で求めよ。

磁場のない一様な冷たい電子プラズマ（イオンは動かない一様な正電荷の背景とみなす）の中を、角振動数 $\omega$ の横波の電磁波が伝わっている。この電磁波の位相速度を測ったところ、真空中の光速 $c$ の $\frac{5}{4}$ 倍であった。

このプラズマの電子密度 $n_e$ を、$\omega$、電気素量 $e$、電子の質量 $m_e$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ を用いて求めよ。ただし SI 単位系を用い、電磁波の分散関係は
$${\omega }^2={\omega }_{\mathrm{p}}^2+c^2{k}^2,{\omega }_{\mathrm{p}}=\sqrt{\frac{n_e{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$
で与えられるものとする（$k$ は波数、${\omega }_{\mathrm{p}}$ は電子プラズマ振動数）。衝突と熱運動は無視する。

一様なプラズマの中に、点電荷 $q$（$q>0$）の試験電荷を原点に置く。プラズマの電荷が再配置して試験電荷が遮蔽された結果、原点からの距離 $r$（$r>0$）での静電ポテンシャルは、デバイ長 ${\lambda }_D$ を用いて
$$\varphi (r)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}\exp \left(-\frac{r}{{\lambda }_D}\right)$$
で与えられるとする（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、SI 単位系）。

原点を中心とする半径 ${\lambda }_D$ の球の内部にあるプラズマの遮蔽電荷（試験電荷 $q$ を除いた、プラズマが再配置してできた電荷の総和）を $Q_{\mathrm{s}}$ とする。比 $\frac{Q_{\mathrm{s}}}{q}$ を正確な値で求めよ。

真空中で、電荷 $q$（$q>0$）をもち質量がそれぞれ $m_1$, $m_2$（$0<m_1<m_2$）の 2 種類のイオンを、静止した状態から電位差 $V$（$V>0$）で加速する。加速されたイオンは、点 $\mathrm{O}$ にあるスリットを通って、スリットの面に垂直な向きに、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場の領域に入る。磁場の向きはイオンの速度に垂直で、磁場の領域はスリットの面の片側全体に広がっている。イオンは磁場中で半円を描いてスリットの面に戻り、面上に置いた検出器に当たる。

2 種類のイオンが検出器に当たる位置の間の距離 $d$ を、$q,V,B,m_1,m_2$ を用いて表せ。ただし、重力・イオンどうしの相互作用・放射による損失は無視し、イオンの速さは光速に比べて十分小さく非相対論的に扱ってよいとする。

一様な真空磁場（磁束密度の大きさ $B_0=2.00\mathrm{T}$）の中に、厚みのある平板状のプラズマが置かれ、磁力線はプラズマの表面に平行である。プラズマは静止した平衡状態にあり、その内部は一様で、電子とイオン（1 価）の密度はどちらも $n=5.00\times 10^{19}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子とイオンの温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$ である。プラズマの外側（真空中）の磁束密度の大きさは $B_0$ のまま保たれており、プラズマの内部の磁場もプラズマの表面に平行で一様である。

プラズマの圧力は理想気体の式で与えられるとし、プラズマの内部と外部の間で、気体の圧力と磁気圧 $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ の和がつり合っているとする。プラズマの内部の磁束密度の大きさを $\mathrm{T}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とし、プラズマ表面の厚さや磁力線の曲がりによる張力は無視する。

磁場のない一様な冷たいプラズマがあり、電子密度は $n_e=1.00\times 10^{18}{\mathrm{m}}^{-3}$ である。このプラズマの中を、周波数 $f=15.0\mathrm{GHz}$ のマイクロ波（横波の電磁波）が伝わる。マイクロ波の群速度の大きさを $m/s$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、イオンは重いので動かないとし、電子の熱運動と衝突は無視する。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^{8}m/s$、$\pi =3.1416$ とする。

電子密度 $n_e$、電子温度 $T_e$ の一様なプラズマについて、電子のデバイ長 ${\lambda }_D$ とプラズマパラメータ（デバイ球の中の電子の数）$N_D$ を、SI 単位系で
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{e}^2}},N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
と定義する。ここで ${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数、$e$ は電気素量である。

このプラズマを、外部からゆっくりと一様に圧縮して、電子密度を $64$ 倍にした。圧縮の間、電子は比熱比 $\gamma =\frac{5}{3}$ の単原子理想気体として可逆断熱変化をするものとし、圧縮の前後でプラズマは一様であるとする。

圧縮後のプラズマパラメータ $N_D^{\prime }$ は、圧縮前の $N_D$ の何倍か。整数で求めよ。

地上から電離層に向けて電波を斜めに送り、電離層で反射させて遠くと通信する。電離層を、高さ $z$ だけに依存する電子密度 $n(z)$ をもつ水平な層状の冷たいプラズマとみなす。$n(z)$ は電離層の下端（$n=0$）から上へ向かって単調に増え、最大値 $n_{\max }=1.0\times 10^{12}{\text{m}}^{-3}$ に達する。電離層より下は真空とみなす。

地磁気・衝突・イオンの運動・地球の曲率は無視し、角振動数 $\omega$ の電磁波に対するプラズマの屈折率は
$$N=\sqrt{1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}},{\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$
で与えられるものとする。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{F/m}$ とし、$\pi =3.14$ とする。

電波を鉛直方向と $60^{\circ }$ の角をなす向きに入射させるとき、電離層で反射されて地上に戻る電波の周波数 $f=\omega /(2\pi )$ の最大値は何 $\text{MHz}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

水素プラズマ（電子と 1 価の陽子だけからなる）が、磁束密度の大きさ $B=2.0\text{T}$ の磁場中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性で、電子密度とイオン密度はともに $n=5.0\times 10^{19}{\text{m}}^{-3}$ である。電子とイオンはともに理想気体とみなし、電子温度とイオン温度は等しい値 $T$ とする。

プラズマの圧力 $p$（電子とイオンの圧力の和）と磁気圧の比であるベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する。$\beta =0.040$ のとき、温度 $T$ をエネルギー単位で表した値 $k_{B}T$ は何 $\text{keV}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{H/m}$、$1\text{eV}=1.60\times 10^{-19}\text{J}$ とする。

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。重陽子 D（電荷 $e$、質量 $2m_p$）と $\alpha$ 粒子（電荷 $2e$、質量 $4m_p$）が、それぞれ同じ運動エネルギー $K$ をもち、磁場に垂直な向きの速度で運動している。ここで $e$ は電気素量、$m_p$ は陽子の質量である。

粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射は無視する。重陽子のラーモア半径 $r_D$ と $\alpha$ 粒子のラーモア半径 $r_{\alpha }$ の比 $\frac{r_D}{r_{\alpha }}$ を求めよ。

一様な電子-イオンプラズマが熱平衡にあり、電子温度は $k_{\mathrm{B}}{T}_e=5.0\mathrm{eV}$ である。このプラズマのデバイ長は電子の寄与だけで決まるとし（イオンの寄与は無視する）、
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}{T}_e}{n_e{e}^2}}$$
で与えられるものとする。ここで $n_e$ は電子密度である。デバイ球（半径 ${\lambda }_D$ の球）の中に含まれる電子の個数
$$N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
を測定したところ、$N_D=1.0\times 10^4$ であった。このときの電子密度 $n_e$ を、単位を ${\mathrm{m}}^{-3}$ として有効数字 2 桁で求めよ。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

磁場のない一様な冷たい電子プラズマが、厚さ $L=0.30\text{m}$ の平板状の領域を満たしている。電子密度は $n=1.0\times 10^{18}{\text{m}}^{-3}$ である。イオンは動かない一様な正電荷の背景とみなし、衝突は無視する。

このプラズマ板に、周波数 $f=15\text{GHz}$ の電磁波のパルス（狭い周波数幅の波束）を板の面に垂直に入射させる。パルスはプラズマの中を群速度で進むものとし、板の境界での反射は考えない。

パルスがプラズマ板を通り抜けるのにかかる時間は、同じ厚さの真空を通り抜ける時間より $\Delta t$ だけ長い。$\Delta t$ を ns 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$、電子の質量 $m=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{F/m}$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とし、SI 単位系を用いる。

SI 単位系を用いる。真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電場はなく、重力は無視する。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子がこの磁場中でらせん運動をしている。粒子にはたらく力はローレンツ力 $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけである。観測によると、らせんを $xy$ 平面に射影した円の半径（ラーモア半径）は $r$ であり、粒子が円を 1 周する間に $z$ 方向に進む距離（らせんのピッチ）は $d$ であった。粒子の運動は非相対論的に扱ってよく、粒子が出す放射の影響は無視する。

この粒子の運動エネルギー $K$ を、$q,m,B,r,d$ を用いて表せ。

SI 単位系を用いる。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、電気素量を $e$（$e>0$）、ボルツマン定数を $k_B$ とする。

電子と 1 価の陽イオンからなる一様な完全電離プラズマが、熱平衡にある。電子の数密度を $n$、電子温度を $T$ とする。全体は電気的に中性で、イオンの数密度も $n$ である。ここでは電子だけによる遮蔽を考え、デバイ長 ${\lambda }_D$、デバイ球内の電子数（プラズマパラメータ）$N_D$、電子 1 個あたりの平均的な体積と等しい体積の球の半径（ウィグナー・ザイツ半径）$a$、および結合パラメータ $\Gamma$ をそれぞれ次で定義する。
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{B}T}{n{e}^2}},N_D=\frac{4\pi }{3}n{\lambda }_D^3,\frac{4\pi }{3}{a}^3=\frac{1}{n},\Gamma =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}a{k}_{B}T}$$

はじめ、このプラズマのプラズマパラメータは $N_D=N_0$ であった。このプラズマを、一様性と電気的中性を保ったまま、体積が $\frac{1}{8}$ になるまでゆっくり断熱圧縮した。電子は比熱比 $\gamma =\frac{5}{3}$ の理想気体として断熱変化するものとし、粒子の生成・消滅や放射によるエネルギー損失はないものとする。

圧縮後の結合パラメータ $\Gamma$ を $N_0$ を用いて表せ。

電子と 1 価の陽イオン（水素イオン）からなる一様なプラズマが、一様な磁場（磁束密度の大きさ $B$）の中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性であり、電子密度とイオン密度はどちらも $n=1.00\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子温度とイオン温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$（すなわち $k_B{T}_e=k_B{T}_i=10.0\mathrm{keV}$）である。電子とイオンはそれぞれ理想気体とみなし、プラズマの圧力は電子の圧力とイオンの圧力の和とする。

プラズマのベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する（$p$ はプラズマの圧力、$B^2/(2{\mu }_0)$ は磁気圧）。$\beta =0.0400$ となるために必要な磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。有効数字 3 桁で求めよ。

SI 単位系を用い、電気素量を $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$（$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$）、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$ とする。

直交座標 $(x,y,z)$ をとり、ある領域に次の静磁場と静電場がある。
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}},\mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{x}}$$
ここで $B_0>0$, $L>0$ は定数、$E_0$ は実数の定数で、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{z}}$ は $x$, $z$ 方向の単位ベクトルである。この領域には、アンペールの法則 $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{j}$ を満たすように、この磁場を作る一様な電流が $y$ 方向に流れている。磁力線はまっすぐで、曲率はない。これらの場は与えられたものとし、考える陽子の運動による場の変化は無視する。

この場の中を、電荷 $q(>0)$ の陽子が運動している（$q$ は電気素量に等しい正の定数を表す文字である）。陽子の案内中心はある瞬間に $x=0$ の面上にあり、磁場に垂直な方向の旋回運動の運動エネルギーは $W(>0)$ である。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、$|E_0|/B_0$ は旋回の速さに比べて十分小さいとして、案内中心のドリフト速度は、$x=0$ での場の値を使った $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと磁場の勾配による $\nabla B$ ドリフト（勾配ドリフト）の和で表されるものとする。重力・衝突・放射は無視し、運動は非相対論的とする。

このときの案内中心のドリフト速度の $y$ 成分を、$E_0$, $B_0$, $W$, $q$, $L$ を用いて表せ。

$x<0$ の領域は真空で、$x\geqq 0$ の領域には電子密度が
$$n(x)=n_0\frac{x}{L}(x\geqq 0)$$
のように $x$ に比例して増える冷たいプラズマがある（$n_0>0$, $L>0$ は定数）。プラズマに磁場はなく、イオンは重いので静止しているとみなし、衝突は無視する。電子の質量を $m_e$、電気素量を $e$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、真空中の光速を $c$ とする。このプラズマ中の角振動数 $\omega$ の電磁波（横波）の分散関係は、場所 $x$ での電子プラズマ角振動数 ${\omega }_p(x)=\sqrt{\frac{n(x)e^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$ を使って
$${\omega }^2={\omega }_p(x{)}^2+c^2{k}^2$$
で与えられるとする（$k$ は波数ベクトルの大きさ）。

真空側から、角振動数 $\omega$ の平面電磁波を、$xy$ 面内で $x$ 軸（密度の勾配の向き）と角 $\theta \left(0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}\right)$ をなす向きに入射させる。密度の変化は波長に比べて十分ゆるやかで、波は幾何光学（屈折しながら進む光線）で扱えるものとする。波が反射される（光線が $x$ 方向に進まなくなる）位置の $x$ 座標を、${\epsilon }_0$, $m_e$, $\omega$, $\theta$, $L$, $n_0$, $e$ を用いて表せ。

$xyz$ 直交座標系で、外部のコイルの電流がつくる静磁場が、考えている領域で
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}}$$
と表されるように $x$ 方向にゆるやかに変化している（この磁場を保つのに必要な電流は領域内を流れていてもよい）。さらに、$x$ 方向を向いた一様な静電場 $\mathbf{E}=E_x\hat{\mathbf{x}}$ がかかっている。ここで $B_0=0.10\text{T}$, $L=0.50\text{m}$ であり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{z}}$ はそれぞれ $x$, $z$ 方向の単位ベクトルである。

この場の中で陽子（電荷 $e>0$）が 1 個運動しており、その案内中心は $x=L$ の位置にある。陽子の磁場に垂直な方向の運動エネルギー（ラーマー運動の運動エネルギー）は $W_{\perp }=100\text{eV}$ である。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、案内中心近似が使えるものとする。また、陽子の相対論的効果・重力・衝突・陽子自身がつくる場は無視し、磁場の大きさの勾配による勾配ドリフトと $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトだけを考える。

陽子の案内中心の $y$ 方向のドリフト速度が $0$ になるようにするには、電場の $x$ 成分 $E_x$ を何 V/m にすればよいか。整数で求めよ。

半径 $b$ の無限に長い完全導体の円筒殻が $z$ 軸を中心軸として置かれている。はじめ円筒の内部は真空で、$z$ 方向を向いた一様な磁場（磁束密度の大きさ $B_0>0$）だけがある。

この円筒の内部の中心に、半径 $a=\frac{b}{2}$ の円柱状のプラズマ（$r<a$）をつくった。つくった後の状態は次のとおりとする。
- プラズマの圧力 $p$ は $r<a$ で一様で、$r>a$ では $0$ である（境界は鋭い）。
- 磁場は $z$ 成分だけをもち、$r<a$ では一様な大きさ $B_i$、$a<r<b$ では一様な大きさ $B_e$ である（どちらも $z$ の正の向き）。
- 系は静的な平衡にあり、プラズマの境界 $r=a$ で「プラズマ圧力と磁気圧の和」が連続である。
- 円筒殻は完全導体なので、円筒の内部を貫く $z$ 方向の全磁束ははじめと変わらない。

プラズマの圧力が $p=\frac{5}{9}\cdot \frac{B_0^2}{{\mu }_0}$ であったとき、プラズマの外側の真空磁場で定義したベータ値
$$\beta =\frac{p}{B_e^2/(2{\mu }_0)}$$
を既約分数で求めよ。ただし ${\mu }_0$ は真空の透磁率で、SI 単位系を用いる。

SI 単位系を用いる。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、電気素量を $e$（$e>0$）、ボルツマン定数を $k_B$ とする。指数関数は $\exp$ で表す。

電子と 2 価の陽イオン（電荷 $2e$）からなる一様な電離プラズマがある。外から何も加えないとき、電子の数密度は $n_0$、イオンの数密度は $\frac{n_0}{2}$ で、プラズマは電気的に中性である。電子は温度 $T_e$、イオンは温度 $T_i=\frac{T_e}{4}$ の熱平衡にあり、静電ポテンシャル $\varphi$ の中で電子とイオンの数密度はそれぞれボルツマン分布
$$n_e=n_0\exp \left(\frac{e\varphi }{k_B{T}_e}\right),n_i=\frac{n_0}{2}\exp \left(-\frac{2e\varphi }{k_B{T}_i}\right)$$
に従うとする（$\varphi$ の基準は無限遠で $\varphi =0$）。

このプラズマの中の原点に点電荷 $Q$ を置き、十分時間がたって定常状態になった。プラズマパラメータ（デバイ球の中の粒子数）は 1 より十分大きく、電荷密度は連続的に扱えるものとする。また、原点の近くを除いて $|2e\varphi |\ll k_B{T}_i$ が成り立ち、ボルツマン因子は $\varphi$ について 1 次まで展開してよい。ポテンシャルは球対称で、$r\to 0$ で $\varphi (r)\to \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$、$r\to \infty$ で $\varphi \to 0$ を満たすとする。

電子だけで決まるデバイ長を
$${\lambda }_{De}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$$
とする。原点から距離 $r={\lambda }_{De}$ の点での $\varphi$ と、同じ点にプラズマがない場合の真空中のクーロンポテンシャル $\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\lambda }_{De}}$ との比
$$\frac{\varphi ({\lambda }_{De})}{\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\lambda }_{De}}}$$
を、$\exp$ を用いた正確な値で求めよ。

SI 単位系を用いる。電気素量を $e$（$e>0$）とする。座標軸 $x,y,z$ は右手系をなすものとし、${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ をそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルとする（${\mathbf{e}}_z\times {\mathbf{e}}_x={\mathbf{e}}_y$）。

プラズマ中の $x=0$ の付近に、$z$ 軸の正の向きを向き、大きさが $x$ とともにゆるやかに変化する静磁場
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right){\mathbf{e}}_z(B_0>0,L>0)$$
と、$x$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場 $\mathbf{E}=E{\mathbf{e}}_x$（$E>0$）がかかっている。

この中で、陽子（電荷 $+e$）と電子（電荷 $-e$）の運動を案内中心近似で考える。どちらの粒子も案内中心は $x=0$ にあり、磁場に平行な速度成分は 0 で、磁場に垂直な運動（ラーモア運動）の運動エネルギーはどちらも $W$（$W>0$）である。ラーモア半径は $L$ に比べて十分小さく、ドリフトの速さは粒子の速さに比べて十分小さいとする。また、運動は非相対論的に扱い、重力と粒子間の衝突は無視する。

電場の大きさ $E$ は、陽子の案内中心がちょうど静止するように調整されている。このとき、電子の案内中心のドリフト速度の $y$ 成分を、$W$, $e$, $B_0$, $L$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。静磁場は $z$ 成分だけをもち、その大きさが平面 $x=0$ を境に次のように不連続に変わる（$B>0$ は定数）。
$$\mathbf{B}=\{\begin{array}{ll}B\hat{\mathbf{z}}& (x<0)\\ 2B\hat{\mathbf{z}}& (x>0)\end{array}$$
この磁場は平面 $x=0$ に置かれた厚さの無視できる薄い電流層がつくっており、粒子はこの電流層を何の力も受けずに自由に通り抜けるものとする。電場はない。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を速さ $v$（$v>0$）で $x$ 軸の正の向きに通過した。粒子の運動は非相対論的に扱い、重力と放射によるエネルギー損失は無視する。

粒子は $xy$ 平面内で、半径の異なる半円をつなげた軌道を描きながら、全体として $y$ 方向に移動していく。十分長い時間で平均した粒子の速度の $y$ 成分を、$v$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様な静磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）と、同じく $z$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場（電場の大きさ $E>0$）がかかっている。電荷 $q>0$、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,-u)$$ で打ち出された（$v_0>0$、$u>0$ は定数）。ただし $u$ は $0<\frac{Bu}{E}<\pi$ を満たすとする。

粒子は打ち出された後、ふたたび平面 $z=0$ を通過する。その瞬間の粒子と $z$ 軸との距離を、$m,q,B,E,v_0,u$ を用いて求めよ。

ただし、重力と放射による損失は無視し、粒子の運動は非相対論的に扱ってよい。粒子の運動方程式は $m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ である。

直交座標 $(x,y,z)$ をとる。厚さ $2a$ の平板状のプラズマが領域 $|x|<a$ にあり、$y,z$ 方向には一様に無限に広がっている。$|x|>a$ は真空である。プラズマは静止した理想 MHD 平衡 $\mathbf{J}\times \mathbf{B}=\nabla p$ にあり、磁場は $z$ 成分だけをもち $x$ だけの関数 $\mathbf{B}=B(x)\hat{\mathbf{z}}$（$B(x)>0$）である。真空領域 $|x|>a$ の磁場は一様で $B(x)=B_0$（$B_0>0$）である。

プラズマの圧力は
$$p(x)=p_0\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)(|x|<a),p(x)=0(|x|\geqq a)$$
であり、中心でのベータ値 ${\beta }_0=\frac{2{\mu }_0{p}_0}{B_0^2}$ は ${\beta }_0=\frac{3}{4}$ である（${\mu }_0$ は真空の透磁率）。

プラズマがない（領域全体の磁場が $B_0$ である）場合と比べて、プラズマの反磁性によって、$xy$ 平面内の帯状の領域 $-a\leqq x\leqq a$、$0\leqq y\leqq 1$ を貫く磁束がどれだけ減少しているか、その減少量を $B_0$ と $a$ を用いて求めよ。ただし $y$ は長さの単位で測るものとし、答えは自然対数を含む正確な形で書くこと。

直交座標 $(x,y,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの軸の正の向きの単位ベクトルとする。プラズマ中に、$z$ 方向を向き大きさが $x$ とともに変わる静磁場
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}}$$
と、一様な静電場 $\mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{x}}$ がかかっている（$B_0>0$, $L>0$ は定数、$E_0$ は実数の定数）。このプラズマは、電荷 $+e$ のイオンと電荷 $-e$ の電子からなり（$e>0$ は電気素量）、イオンの温度は $T_i$、電子の温度は $T_e$ である。どちらの粒子についても、磁場に垂直な運動の運動エネルギーの平均値は $k_{B}T$（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ はその粒子の温度）とする。

どちらの粒子もラーモア半径は $L$ に比べて十分小さく、案内中心近似が成り立つとし、ドリフト速度は $x=0$ の位置で評価する。また、粒子どうしの衝突、重力、電場や磁場の時間変化、プラズマの電流がつくる磁場の補正は無視する。

$E_0$ の値を、イオンの案内中心の平均ドリフト速度（$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと勾配ドリフトの和を、垂直運動エネルギーについて平均したもの）が $0$ になるように選んだ。このとき、電子の案内中心の平均ドリフト速度の $y$ 成分を、$k_B,T_i,T_e,e,B_0,L$ を用いて表せ。SI 単位系を用いる。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電場はない。

電荷 $-e$（$e>0$）、質量 $m$ の電子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,u)$$ で運動を始めた（$v_0>0$, $u>0$）。電子にはたらく力はローレンツ力 $-e\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけとし、相対論的効果と電磁波の放射は無視する。

$t>0$ で電子の速度の $x$ 成分がはじめて $0$ になる時刻における電子の位置の座標 $(x,y,z)$ を、$m,e,B,v_0,u$ を用いて求めよ。

真空中に円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。$z$ 軸に沿って、無限に長い細い直線導線を置く。導線には $z$ 軸の正の向きに定常電流 $I$（$I>0$）が流れている。また、導線は単位長さあたり $\lambda$ の一様な電荷をもつ。電荷の分布は時間変化しないものとする。このとき導線のまわりの磁場と電場は
$$\mathbf{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\hat{\mathbf{\phi }},\mathbf{E}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\hat{\mathbf{r}}$$
である。ここで ${\mu }_0$ は真空の透磁率、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

この場の中で、陽子（電荷 $e>0$）が導線から距離 $r_0$ の位置を中心にラーモア運動をしている。陽子の案内中心は磁力線（$z$ 軸を中心とする円）に沿って動く。案内中心の位置で測った、磁力線に平行な運動の運動エネルギーを $K_1$、磁場に垂直な旋回運動の運動エネルギーを $K_2$ とする（$K_1>0$, $K_2>0$）。

ラーモア半径は $r_0$ に比べて十分小さいとし、案内中心の運動は 1 次のドリフト近似で扱う。考えるドリフトは $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフト・勾配ドリフト（$\nabla B$ ドリフト）・曲率ドリフトの 3 つとする。重力・相対論的効果・放射は無視する。

案内中心のドリフト速度の合計が $0$ になり、陽子の案内中心が平面 $z=\text{一定}$ 内の半径 $r_0$ の円の上にとどまるとき、比 $\frac{\lambda }{{\epsilon }_0}$ を $e,K_1,K_2$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの軸の正の向きの単位ベクトルとする。一様な静磁場 $\mathbf{B}=B_0\hat{\mathbf{z}}$（$B_0>0$）がある。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子のサイクロトロン角振動数を ${\omega }_c=\frac{q{B}_0}{m}$ とする。

この領域に、空間的に一様で、$xy$ 平面内を回転する電場
$$\mathbf{E}(t)=E_0\left(\cos {\omega }_{c}t\hat{\mathbf{x}}-\sin {\omega }_{c}t\hat{\mathbf{y}}\right)(E_0>0)$$
を加える（サイクロトロン共鳴加熱のモデル）。時刻 $t=0$ に粒子は原点に静止していた。

粒子の運動は非相対論的に扱い、重力・放射による損失・電場とともに生じる磁場の変化は無視する。SI 単位系を用いる。

$N$ を正の整数とするとき、時刻 $t=\frac{2\pi N}{{\omega }_c}$ における粒子の原点からの距離を、$m,q,E_0,B_0,N$ を用いて表せ。

真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、SI 単位系を用いる。円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマが領域 $r<a$ にあるとする。$r>a$ は真空である。このプラズマは静止した理想 MHD 平衡
$$\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$$
にあり、圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、プラズマの表面で $p(a)=0$ である。

プラズマには $z$ 方向の電流だけが流れており、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
である（$J_0>0$ は定数）。この電流の総量は $I$（$I>0$）である。また、外部のコイルによって、プラズマの内外で一様な $z$ 方向の磁場 $B_0\hat{\mathbf{z}}$（$B_0>0$）がかかっている。プラズマには $\phi$ 方向の電流は流れていない。

中心軸上（$r=0$）でのベータ値
$$\beta (0)=\frac{p(0)}{B(0{)}^2/(2{\mu }_0)}$$
を、${\mu }_0,I,a,B_0$ を用いて表せ。ただし $B(0)$ は $r=0$ での磁束密度の大きさである。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。考えている領域（$0\leqq x\leqq L$ を含む領域）には、次の静磁場と静電場がかかっている。
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right){\mathbf{e}}_z,\mathbf{E}=E_0{\mathbf{e}}_y$$
ここで $B_0>0$、$L>0$、$E_0>0$ は定数であり、${\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ はそれぞれ $y$ 軸、$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルである。この磁場は外部の電流がつくるものとし、その由来は考えなくてよい。

この場の中で、質量 $m$、電荷 $e$（$e>0$）の陽子 1 個の運動を考える。時刻 $0$ に陽子の旋回中心（案内中心）は原点 $(0,0,0)$ にあり、陽子は磁場に垂直な面内で旋回していて、その運動エネルギーは $K_0$ である。磁場に平行な速度成分は $0$ とする。

ラーモア半径は $L$ より十分小さく、案内中心の速度は E×B ドリフトと勾配ドリフト（$\nabla B$ ドリフト）の速度の和で表されるとする。また、磁気モーメント $\mu =\frac{K_{\perp }}{B}$（$K_{\perp }$ は磁場に垂直な運動の運動エネルギー）は断熱不変量として保存されるとする。重力と相対論的効果は無視する。

案内中心が平面 $x=L$ に達したときの、案内中心の $y$ 座標を $K_0$, $e$, $E_0$ を用いて表せ。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が $z$ 軸に沿って静止しており、その外側 $r>a$ は真空である。磁場は $z$ 成分だけをもち $\mathbf{B}=B(r)\hat{\mathbf{z}}$ と書け、$r\geqq a$ では一様で $B(r)=B_0$（$B_0>0$）である。プラズマの圧力（電子とイオンの圧力の和）は
$$p(r)=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
で、$r>a$ では $p=0$ である。プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\mathbf{J}\times \mathbf{B}=\nabla p$, $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$ を満たすものとし（${\mu }_0$ は真空の透磁率）、$B(r)$ は $r$ について連続で、$0\leqq r\leqq a$ で $B(r)>0$ とする。

外部磁場で測った中心のベータ値を
$${\beta }_0=\frac{p_0}{B_0^2/(2{\mu }_0)}(0<{\beta }_0<1)$$
と定義する。プラズマ柱の断面 $r<a$ を貫く磁束 $\Phi$ と、プラズマがない場合の同じ断面の磁束 $\pi a^2{B}_0$ の比 $\frac{\Phi }{\pi a^2{B}_0}$ を ${\beta }_0$ を用いて表せ。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。$z$ 軸を中心軸とする半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が静止した平衡状態にあり、その外側 $r>a$ は真空である（z ピンチ）。プラズマには $z$ 方向の電流が流れ、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
（$J_0>0$ は定数）である。磁場はこの電流がつくる $\phi$ 成分 $B_{\phi }(r)$ だけで、外部からかけた磁場はない。

プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$ をみたし、圧力 $p(r)$ は $r$ だけの関数で、表面で $p(a)=0$ とする。SI 単位系を用い、真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。

中心軸上の圧力 $p(0)$ を、プラズマ表面での磁気圧 $\frac{B_{\phi }(a{)}^2}{2{\mu }_0}$ と比べた量
$${\beta }_0=\frac{2{\mu }_{0}p(0)}{B_{\phi }(a{)}^2}$$
を、分数で求めよ。

弱電離ガスの中に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ のイオンは、ローレンツ力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ のほかに、中性粒子との衝突による平均的な抵抗力として、速度に比例する力
$$\mathbf{F}=-m\nu \mathbf{v}$$
を受けるとする。ここで $\nu$（$\nu >0$）は一定の衝突周波数である。電場と重力は無視し、運動は非相対論的に扱う。

時刻 $t=0$ にこのイオンは原点にあり、速度は $\mathbf{v}(0)=(u,0,w)$（$u>0$, $w>0$）であった。イオンは十分長い時間ののちにある点に限りなく近づいて止まる。その点と原点との距離を、$u$, $w$, $\nu$, $q$, $B$, $m$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。静磁場は $z$ 軸の正の向きを向き、その磁束密度の大きさは
$$B(x)=\{\begin{array}{ll}{B}_1& (x<0)\\ B_2& (x>0)\end{array}(0<B_1<B_2)$$
のように平面 $x=0$ を境に不連続に変わる（各領域の中では一様）。電場はない。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を速度
$$\mathbf{v}(0)=(v\cos \alpha ,v\sin \alpha ,0)\left(v>0,-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$$
で通過した。粒子はローレンツ力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけを受けて非相対論的に運動するものとし、重力・放射による損失は無視する。

この粒子は境界面 $x=0$ を何度も横切りながら $y$ 方向にずれていく。十分長い時間で平均した粒子の速度の $y$ 成分（ドリフト速度）${\bar{v}}_y$ を、$v,\alpha ,B_1,B_2$ を用いて表せ。

惑星の磁気赤道面（$z=0$ の平面）内の運動を考える。惑星の中心を原点とする円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{\phi }},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの向きの単位ベクトルとする（$\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{\phi }}=\hat{\mathbf{z}}$）。惑星の半径を $a$ とする。

赤道面 $r>a$ での磁場と電場は
$$\mathbf{B}=B_0{\left(\frac{a}{r}\right)}^3\hat{\mathbf{z}},\mathbf{E}=-\frac{\Omega B_0{a}^3}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$$
で与えられるとする（$B_0>0$、$\Omega >0$ は定数。電場は惑星とともに角速度 $\Omega$ で回転するプラズマがつくる共回転電場である）。

この赤道面内で、電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、ピッチ角 $90^{\circ }$（磁場に平行な速度成分が $0$）で旋回運動している。$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトとともに動く系で見た旋回運動の運動エネルギーを $K$（$K>0$）とする。粒子は非相対論的に運動し、重力は無視する。ラーモア半径は場の変化の長さ $r$ に比べて十分小さく、案内中心近似（ドリフト近似）が使えるものとする。また $0<K<\frac{q\Omega B_0{a}^2}{3}$ とする。

案内中心の $\phi$ 方向のドリフト速度（$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと勾配ドリフトの和）が $0$ になる半径 $r$ を、$q,\Omega ,B_0,a,K$ を用いて表せ。

電子（電荷 $-e$）と 1 価の陽イオン（電荷 $+e$）からなる一様なプラズマが熱平衡にあり、遠方での電子とイオンの数密度はどちらも $n_0$ である。ここで $e$ は電気素量である。電子の温度を $T_e$、イオンの温度を $T_i=\frac{T_e}{3}$ とする。SI 単位系を用い、${\epsilon }_0$ を真空の誘電率、$k_B$ をボルツマン定数とする。

このプラズマの中の原点に、点電荷 $Q$（$Q>0$）を固定して置いた。十分時間がたった後、電子とイオンはどちらも静電ポテンシャル $\varphi (\mathbf{r})$ の中でボルツマン分布
$$n_e=n_0\exp \left(\frac{e\varphi }{k_B{T}_e}\right),n_i=n_0\exp \left(-\frac{e\varphi }{k_B{T}_i}\right)$$
に従うとする。$|e\varphi |$ は $k_B{T}_e$ と $k_B{T}_i$ のどちらよりも十分小さいとして指数関数を 1 次まで展開し、$\varphi$ は無限遠で $0$、原点の近くでは $\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ に近づくとする。

電子のデバイ長を ${\lambda }_e=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$ と定義する。原点を中心とする半径 ${\lambda }_e$ の球の内部にある電荷の総量（点電荷 $Q$ と、プラズマに誘起された電荷の和）を $Q_{\mathrm{enc}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{Q}$ を正確な値で求めよ。ただし、答えに自然対数の底が現れる場合は $\exp (\cdot )$ を用いて表せ。

真空中に円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{\phi }},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの座標が増える向きの単位ベクトルとする（$\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{\phi }}=\hat{\mathbf{z}}$）。$z$ 軸に沿って無限に長い細い直線導線があり、$z$ 軸の正の向きに定常電流 $I$（$I>0$）が流れている。また、導線は長さあたり $\lambda$ の一様な電荷をもつ（$\lambda$ は正にも負にもなりうる定数）。導線の外の電場と磁場は
$$\mathbf{E}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\hat{\mathbf{r}},\mathbf{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\hat{\mathbf{\phi }}$$
である。ここで ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$ はそれぞれ真空の誘電率と透磁率である。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、導線から距離 $r_0$ のあたりで磁力線のまわりを旋回している。粒子の磁場に平行な速さを $u$、磁場に垂直な速さ（旋回の速さ）を $w$ とし（$u>0$, $w>0$）、ラーモア半径は $r_0$ に比べて十分に小さいとする。重力・相対論的効果・粒子どうしの相互作用・放射は無視する。

案内中心近似（ドリフト近似）の最低次で考えると、案内中心は磁力線に沿った運動のほかに $z$ 方向にドリフトする。このドリフトの速度が $0$ になるような $\lambda$ を、${\epsilon }_0,m,q,u,w$ を用いて求めよ。

$x$ 軸に垂直な、十分に広い 2 枚の平板電極を $x=0$ と $x=d$ に置き、その間（$0<x<d$）を一様なプラズマで満たす。電極 $x=0$ の電位を ${\varphi }_0$（${\varphi }_0>0$）、電極 $x=d$ の電位を $0$ に保つ。電位 $\varphi$ は $x$ だけの関数である。

プラズマは次のようにふるまうものとする。
- イオン（電荷 $+e$）は動かず、その密度は一様に $n_0$ である
- 電子（電荷 $-e$）は温度 $T_e$ の熱平衡にあり、密度はボルツマン分布 $n_e(x)=n_0\exp \left(\frac{e\varphi (x)}{k_B{T}_e}\right)$ に従う
- $0\le x\le d$ のすべての点で $e|\varphi |\ll k_B{T}_e$ が成り立ち、$n_e$ は $\varphi$ について 1 次まで近似してよい

電子のデバイ長を ${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$ とし（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数）、電極間隔はデバイ長を用いて $d={\lambda }_D\log 3$ と表されるとする（$\log$ は自然対数）。

電極間のプラズマ中にある空間電荷の、電極の単位面積あたりの総量 $Q={\int }_0^d\rho (x)dx$（$\rho$ は電荷密度）を、${\epsilon }_0,{\varphi }_0,d$ を用いて求めよ（${\lambda }_D$ は答えに含めないこと）。

SI 単位系を用いる。真空中の光速を $c$ とする。

$x$ 軸に垂直な、厚さ $d$ の平板状のプラズマが領域 $0<x<d$ にあり、$y,z$ 方向には無限に広がっている。$x<0$ と $x>d$ は真空である。プラズマは電子密度 $n_0$ の一様な冷たいプラズマで、次のように扱う。
- 電子（電荷 $-e$、質量 $m_e$）の熱運動と衝突は無視する。
- イオンは重いので静止しているとみなす。
- 静磁場はない。
- 波の振幅は小さく、線形近似が成り立つ。

プラズマ振動数を ${\omega }_p=\sqrt{\frac{n_0{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$ とする（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。プラズマの透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、$c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ である。

$x<0$ の側から、電場が $y$ 方向を向いた角振動数 $\omega$ の平面電磁波が $x$ 軸の正の向きに垂直入射する。ここで
$$\omega =\frac{\sqrt{3}}{2}{\omega }_p,d=\frac{2c\log 2}{{\omega }_p}$$
とする。入射波のエネルギー流密度（ポインティングベクトルの時間平均）に対する、$x>d$ へ透過する波のエネルギー流密度の比（透過率）$T$ を、既約分数で求めよ。