プラズマ物理の問題

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、運動エネルギー $K$ をもち、磁場の向きと角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす向きに運動している。電場はなく、粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射によるエネルギー損失は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（サイクロトロン運動の 1 周期の間に、粒子が磁場の方向に進む距離）を $q$, $m$, $K$, $B$, $\theta$ を用いて表せ。

SI 単位系を用いる。真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電場はなく、重力は無視する。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子がこの磁場中でらせん運動をしている。粒子にはたらく力はローレンツ力 $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけである。観測によると、らせんを $xy$ 平面に射影した円の半径（ラーモア半径）は $r$ であり、粒子が円を 1 周する間に $z$ 方向に進む距離（らせんのピッチ）は $d$ であった。粒子の運動は非相対論的に扱ってよく、粒子が出す放射の影響は無視する。

この粒子の運動エネルギー $K$ を、$q,m,B,r,d$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電場はない。

電荷 $-e$（$e>0$）、質量 $m$ の電子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,u)$$ で運動を始めた（$v_0>0$, $u>0$）。電子にはたらく力はローレンツ力 $-e\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけとし、相対論的効果と電磁波の放射は無視する。

$t>0$ で電子の速度の $x$ 成分がはじめて $0$ になる時刻における電子の位置の座標 $(x,y,z)$ を、$m,e,B,v_0,u$ を用いて求めよ。

真空中に、大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子が、磁場の向きと $60^{\circ }$ の角をなす向きに速さ $v$ で入射した。粒子にはたらく力は磁場からのローレンツ力だけとし、重力は無視する。また、相対論的効果は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（粒子が 1 回旋回する間に磁場の方向に進む距離）を、$m$, $q$, $B$, $v$ を用いて表せ。

真空中で、電荷 $q$（$q>0$）をもち質量がそれぞれ $m_1$, $m_2$（$0<m_1<m_2$）の 2 種類のイオンを、静止した状態から電位差 $V$（$V>0$）で加速する。加速されたイオンは、点 $\mathrm{O}$ にあるスリットを通って、スリットの面に垂直な向きに、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場の領域に入る。磁場の向きはイオンの速度に垂直で、磁場の領域はスリットの面の片側全体に広がっている。イオンは磁場中で半円を描いてスリットの面に戻り、面上に置いた検出器に当たる。

2 種類のイオンが検出器に当たる位置の間の距離 $d$ を、$q,V,B,m_1,m_2$ を用いて表せ。ただし、重力・イオンどうしの相互作用・放射による損失は無視し、イオンの速さは光速に比べて十分小さく非相対論的に扱ってよいとする。