プラズマ物理の問題

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、運動エネルギー $K$ をもち、磁場の向きと角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす向きに運動している。電場はなく、粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射によるエネルギー損失は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（サイクロトロン運動の 1 周期の間に、粒子が磁場の方向に進む距離）を $q$, $m$, $K$, $B$, $\theta$ を用いて表せ。

$z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を $x$ 軸の正の向きに速さ $v_0$ で通過した。粒子には、ローレンツ力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ のほかに、衝突による抵抗力 $-m\nu \mathbf{v}$（$\nu >0$ は定数の衝突周波数）がはたらき、ほかの力（重力など）は無視できるとする。相対論的効果は無視する。${\omega }_c=\frac{qB}{m}$ とおく。

粒子は $xy$ 平面内を運動し、やがて止まる。粒子が止まるまでに到達する点の座標 $(X,Y)$ を、$v_0$, $\nu$, ${\omega }_c$ を用いて $(X,Y)$ の順の組で表せ。

SI 単位系を用いる。真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電場はなく、重力は無視する。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子がこの磁場中でらせん運動をしている。粒子にはたらく力はローレンツ力 $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけである。観測によると、らせんを $xy$ 平面に射影した円の半径（ラーモア半径）は $r$ であり、粒子が円を 1 周する間に $z$ 方向に進む距離（らせんのピッチ）は $d$ であった。粒子の運動は非相対論的に扱ってよく、粒子が出す放射の影響は無視する。

この粒子の運動エネルギー $K$ を、$q,m,B,r,d$ を用いて表せ。

$xyz$ 直交座標で、平面 $y=0$ を境に磁場が不連続に変わっている。$y>0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な磁場が、$y<0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $2B$ の一様な磁場がある（$B>0$）。電場はない。

質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を $y$ 軸の正の向きに速さ $v$ で通過した。粒子は $xy$ 平面内で、2 つの領域の円弧を交互にたどりながら境界に沿って移動していく。重力と相対論的効果は無視する。

粒子が $y>0$ の領域で 1 回、$y<0$ の領域で 1 回の円弧を描いて、再び原点を通過したときと同じ向き（$y$ 軸の正の向き）で境界を通過するまでを 1 周期とする。1 周期にわたって平均した粒子の速度の $x$ 成分を、$v$ を用いて表せ。

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。重陽子 D（電荷 $e$、質量 $2m_p$）と $\alpha$ 粒子（電荷 $2e$、質量 $4m_p$）が、それぞれ同じ運動エネルギー $K$ をもち、磁場に垂直な向きの速度で運動している。ここで $e$ は電気素量、$m_p$ は陽子の質量である。

粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射は無視する。重陽子のラーモア半径 $r_D$ と $\alpha$ 粒子のラーモア半径 $r_{\alpha }$ の比 $\frac{r_D}{r_{\alpha }}$ を求めよ。