プラズマ物理の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理プラズマ物理

$x y z$ 直交座標で、平面 $y = 0$ を境に磁場が不連続に変わっている。 $y > 0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な磁場が、 $y < 0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $2 B$ の一様な磁場がある（ $B > 0$ ）。電場はない。

質量 $m$ 、電気量 $q (q > 0)$ の粒子が、時刻 $t = 0$ に原点を $y$ 軸の正の向きに速さ $v$ で通過した。粒子は $x y$ 平面内で、2 つの領域の円弧を交互にたどりながら境界に沿って移動していく。重力と相対論的効果は無視する。

粒子が $y > 0$ の領域で 1 回、 $y < 0$ の領域で 1 回の円弧を描いて、再び原点を通過したときと同じ向き（ $y$ 軸の正の向き）で境界を通過するまでを 1 周期とする。1 周期にわたって平均した粒子の速度の $x$ 成分を、 $v$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

磁場の境界をまたぐ旋回軌道（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「磁場の境界をまたぐ旋回軌道」を使う。各領域での円弧（半円）の半径と、それにかかる時間を求め、つなぎ合わせよう。

ヒント 2

半径は $r_{i} = \frac{m v}{q B _{i}}$ 、半周の時間は $\frac{π m}{q B _{i}}$ 。 $y > 0$ では $+ x$ 方向に $2 r_{1}$ 進み、 $y < 0$ では $- x$ 方向に $2 r_{2}$ 戻る。

ヒント 3

1 周期の変位は $2 r_{1} - 2 r_{2} = \frac{m v}{q B}$ 、所要時間は $\frac{3 π m}{2 q B}$ である。

答えと解説

答えを見る

\frac{2 v}{3 π}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. 各領域の半径と半周の時間

一様な磁場の中では、ローレンツ力が向心力となって粒子は等速円運動をする。速さはどちらの領域でも $v$ のまま（ローレンツ力は仕事をしない）なので、半径は
$r_{1} = \frac{m v}{q B} (y > 0), r_{2} = \frac{m v}{q \cdot 2 B} = \frac{r _{1}}{2} (y < 0)$
粒子は境界に垂直に入るので、各領域でちょうど半円を描いて境界に戻る。半周にかかる時間は周期 $T = \frac{2 π m}{q B _{i}}$ の半分で
$t_{1} = \frac{π m}{q B}, t_{2} = \frac{π m}{2 q B}$

2. 旋回の向きと変位

原点で速度は $+ y$ 向きなので、ローレンツ力は $q (v y^) \times (B z^) = q v B x^$ で $+ x$ 向き。円の中心は $(r_{1}, 0)$ にあり、粒子は半円を描いて点 $(2 r_{1}, 0)$ に $- y$ 向きで戻る。

次に $y < 0$ の領域では、速度 $- y$ 向きに対するローレンツ力は $q (- v y^) \times (2 B z^) = - 2 q v B x^$ で $- x$ 向き。円の中心は $(2 r_{1} - r_{2}, 0)$ にあり、粒子は点 $(2 r_{1} - 2 r_{2}, 0)$ に $+ y$ 向きで戻る。

よって 1 周期の $x$ 方向の変位は
$Δ x = 2 r_{1} - 2 r_{2} = 2 r_{1} - r_{1} = r_{1} = \frac{m v}{q B}$

3. 平均速度

1 周期の時間は
$t_{1} + t_{2} = \frac{π m}{q B} + \frac{π m}{2 q B} = \frac{3 π m}{2 q B}$
なので、平均の速度の $x$ 成分は
$v ˉ_{x} = \frac{Δ x}{t _{1} + t _{2}} = \frac{m v}{q B} \cdot \frac{2 q B}{3 π m} = \frac{2 v}{3 π}$

（ $y$ 方向は 1 周期で元に戻るので平均は $0$ である。）

別解

磁場は両領域とも $+ z$ 向き。速さ $v$ は不変なので、円運動の半径は $r = \frac{m v}{q B ^{'}}$ 、周期は $\frac{2 π m}{q B ^{'}}$ （ $B^{'}$ はその領域の磁場）。

$y > 0$ （磁場 $B$ ）: 原点で速度 $+ y$ 向き。力 $q v \times B$ は $+ x$ 向きなので、中心 $(r_{1}, 0)$ 、半径 $r_{1} = \frac{m v}{q B}$ の円を描き、半周して点 $(2 r_{1}, 0)$ に速度 $- y$ 向きで境界に達する。かかる時間は $t_{1} = \frac{π m}{q B}$ 。

$y < 0$ （磁場 $2 B$ ）: 速度は $- y$ 向きなので力は $- x$ 向き。半径 $r_{2} = \frac{m v}{2 q B} = \frac{r _{1}}{2}$ 、中心 $(2 r_{1} - r_{2}, 0)$ の円を描き、半周して $(2 r_{1} - 2 r_{2}, 0) = (r_{1}, 0)$ に速度 $+ y$ 向きで境界に達する。かかる時間は $t_{2} = \frac{π m}{2 q B}$ 。

これで原点を通ったときと同じ向き（ $+ y$ ）で境界に戻るので 1 周期。
1 周期での $x$ 方向の変位は $Δ x = 2 r_{1} - 2 r_{2} = r_{1} = \frac{m v}{q B}$ 、所要時間は $T = t_{1} + t_{2} = \frac{3 π m}{2 q B}$ 。平均速度の $x$ 成分は
$v ˉ_{x} = \frac{Δ x}{T} = \frac{m v / ( q B )}{3 π m / ( 2 q B )} = \frac{2 v}{3 π} .$

検算: $Δ x = 2 r_{1} - 2 r_{2}$ に $r_{1} = m v / (q B)$ , $r_{2} = m v / (2 q B)$ を代入して $\frac{2 m v}{q B} - \frac{m v}{q B} = \frac{m v}{q B}$ 。数値例 $m = q = B = v = 1$ では $Δ x = 1$ 、 $T = 3 π /2$ 、 $v ˉ_{x} = 2/ (3 π) \approx 0.212$ 。符号は正（ $+ x$ 向きにドリフト）で、磁場の強い側の半径が小さいことから $+ x$ へ進む。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる