磁場領域での荷電粒子の軌道の幾何

入射点と出射点での速度に垂直な直線の交点として円軌道の中心を決め、幅 $d$ の磁場領域で速度の向きが $θ$ 曲がったときの $d = r sin θ$ や、境界から入って半周したときの入射点と出射点の距離 $2 r$ から、半径を求めて粒子の速さや質量を求められる

前提

ローレンツ力と荷電粒子の等速円運動（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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ローレンツ力と荷電粒子の等速円運動（高校物理電磁気と交流）

説明

一様な磁場の中で荷電粒子は等速円運動をしますが、磁場がある範囲に限られていると、粒子は円の一部（円弧）を描いて磁場から出ていきます。この技能では、入射点と出射点での速度の向きから円の中心を作図で決め、図形の関係から円軌道の半径 $r$ を求めます。求めた $r$ を $r = \frac{m v}{q B}$ に代入すれば、粒子の速さや質量がわかります。速度選択器を通った粒子の質量を測る装置（質量分析器）や、磁場で粒子の進路を曲げる問題で使います。

なぜそうしてよいのか

一様な磁場に垂直に運動する荷電粒子が受けるローレンツ力は、いつも速度に垂直で、円軌道の中心を向いています。つまり、円の中心は「その点で速度に垂直に引いた直線」の上にあります。円周上のどの点でも成り立つので、入射点で速度に垂直な直線と、出射点で速度に垂直な直線を引けば、その交点が円の中心 O です（円の接線と半径が垂直であることと同じ内容です）。

さらに、入射点の半径と出射点の半径は、それぞれ入射時・出射時の速度をちょうど $9 0^{\circ}$ 回したものなので、2 本の半径のなす角（中心角）は、速度の向きが曲がった角 $θ$ に等しくなります。たとえば、境界線が平行な 2 直線で幅が $d$ の磁場領域に、境界に垂直に入射したとします。入射点での速度に垂直な直線は入射側の境界そのものなので、中心 O は入射側の境界線上にあります。出射点から入射側の境界までの距離は $d$ で、これは半径 $r$ の直角三角形の、中心角 $θ$ の向かい側の辺になるので $d = r sin θ$ です。この状況で粒子が反対側の境界から出るのは $d < r$ のとき（ $0 < θ < 9 0^{\circ}$ ）です。

また、直線の境界の片側だけに磁場があり、境界に垂直に入射した場合は、中心が境界線上にあるので、粒子はちょうど半周して同じ境界から出ます。入射点と出射点は直径の両端なので、その距離は $2 r$ です。

手順

入射点と出射点で、それぞれ速度に垂直な直線を引き、その交点を円軌道の中心 O とする。
中心角（入射点と出射点への 2 本の半径のなす角）が、速度の向きが曲がった角 $θ$ に等しいことを使う（半周なら $18 0^{\circ}$ ）。
中心・入射点・出射点・境界でできる図形から、 $r$ を与えられた長さで表す。幅 $d$ の領域に境界に垂直に入射したなら $d = r sin θ$ 、境界から入って半周したなら入射点と出射点の距離 $L$ について $L = 2 r$ 。
求めた $r$ を $r = \frac{m v}{q B}$ に代入し、求めたい量（速さ $v$ や質量 $m$ ）について解く。

例題

紙面に垂直な向きの一様な磁場（磁束密度の大きさ $B$ ）が、互いに平行な 2 本の直線の境界にはさまれた幅 $d$ の領域だけにある。質量 $m$ 、電気量 $q (q > 0)$ の粒子が、紙面内で一方の境界に垂直に速さ $v$ で磁場に入射したところ、もう一方の境界から、入射時の速度の向きから $3 0^{\circ}$ 曲がった向きに出ていった。重力は無視する。 $v$ を $q, B, d, m$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順1】入射点での速度は境界に垂直なので、入射点で速度に垂直な直線は入射側の境界線そのものである。出射点でも速度に垂直な直線を引き、両者の交点を円軌道の中心 O とする。O は入射側の境界線上にある。
【手順2】速度の向きが $3 0^{\circ}$ 曲がったので、中心角も $θ = 3 0^{\circ}$ である。
【手順3】出射点から入射側の境界線に下ろした垂線の長さは領域の幅 $d$ に等しく、斜辺が半径 $r$ 、角 $3 0^{\circ}$ の向かい側の辺になる。よって $d = r sin 3 0^{\circ} = \frac{r}{2} \Rightarrow r = 2 d$ （ $d < r$ を満たすので、確かに反対側の境界から出る。）
【手順4】 $r = \frac{m v}{q B}$ に代入して $\frac{m v}{q B} = 2 d \Rightarrow v = \frac{2 q B d}{m}$

答え: $\frac{2 q B d}{m}$

よくある誤り

幅 $d$ の領域で $d = r cos θ$ や $d = r tan θ$ としてしまう誤り。正しくは、中心が入射側の境界上にあり、出射点から境界までの距離 $d$ が中心角 $θ$ の向かい側の辺なので $d = r sin θ$ 。
境界から入って半周して出た粒子について、入射点と出射点の距離 $L$ を半径として $L = r$ としてしまう誤り。正しくは 2 点は直径の両端なので $L = 2 r$ 、よって $r = \frac{L}{2}$ で、たとえば質量は $m = \frac{q B L}{2 v}$ 。
$d = r sin θ$ をどんな入射の仕方でも使ってしまう誤り。この式は境界に垂直に入射したときのもので、斜めに入射したときは、入射点・出射点で速度に垂直な直線を引いて中心を作図し直し、図形の関係を改めて求める必要がある。
$d ≧ r$ でも反対側の境界から出ると考えてしまう誤り。境界に垂直に入射した場合、反対側から出るのは $d < r$ のときだけで、 $d > r$ なら半周して入射側の境界から出る（ $d = r$ ならちょうど反対側の境界に接する）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

磁場の境界をまたぐ旋回軌道（大学物理プラズマ物理）