電磁気と交流の問題

真空中の紙面内に、直線 $l$ を境界とする 2 つの領域がある。直線 $l$ の上側の領域にだけ、紙面に垂直で裏から表の向きに、磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかかっており、下側の領域には磁場も電場もない。

質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子が、下側の領域から直線 $l$ 上の点 O を通って磁場の領域に入った。O を通過するときの粒子の速さは $v$ で、速度の向きは紙面内にあり、直線 $l$ と $60^{\circ }$ の角をなして上側の領域に向かっていた。その後、粒子は磁場の中で紙面内を運動し、やがて直線 $l$ 上の点 P を通って磁場の領域から出た。

O と P の間の距離を、$m$, $q$, $v$, $B$ を用いて表せ。ただし、重力の影響は無視する。

真空中で、紙面内に 2 本の平行な直線 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ を距離 $d$ だけ離して引く。${\ell }_1$ と ${\ell }_2$ にはさまれた領域にだけ、紙面に垂直で表から裏の向きに、磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかけられている。

質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子を、${\ell }_1$ 上の点 O から、${\ell }_1$ に垂直に、紙面内で磁場の領域に向けて速さ $v$ で入射させた。粒子は磁場の領域を通り抜けて ${\ell }_2$ から出ていき、そのとき粒子の速度の向きは、入射したときの速度の向きから $30^{\circ }$ だけ曲がっていた。$v$ を $m$, $q$, $B$, $d$ を用いて表せ。ただし、重力の影響は無視できるものとする。

水平面と角 $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ をなす斜面に沿って、2 本の長い平行な金属レールを間隔 $l$ で、斜面の最大傾斜の方向に置いた。レールの上端どうしは抵抗値 $R$ の抵抗でつながれている。この空間全体には、鉛直上向きに磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。

質量 $m$ の金属棒を、レールと垂直になるように（水平に）レールの上にのせ、静かにはなすと、棒はレールと垂直を保ったままレールに沿ってすべり下り、やがて一定の速さになった。この一定の速さを、$m$, $g$, $R$, $B$, $l$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、金属棒とレールの電気抵抗、金属棒とレールの間の摩擦、回路の自己誘導は無視できるものとする。また、レールは十分に長く、棒はレールから外れないものとする。

真空中の空間全体に、紙面に垂直で表から裏の向きに、磁束密度の大きさ $0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場がかけられている。この磁場の中で、陽子が紙面内を速さ $3.0\times 10^{6}m/s$ で運動している。陽子がえがく円軌道の半径は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、陽子の質量を $1.7\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量を $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とし、重力の影響は無視できるものとする。

水平面内に、幅 $d$ の帯状の領域があり、その領域にだけ鉛直方向に磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。領域の 2 本の境界線は平行な直線である。

1 辺の長さ $a(a<d)$ の正方形の 1 巻きコイル（全体の抵抗値 $R$）を水平面内に置き、2 辺が境界線と平行になるようにして、境界線に垂直な向きに一定の速さ $v$ で動かした。コイルが磁場の領域に入り始めてから、領域から完全に出るまでの間に、コイルで発生するジュール熱の合計を、$a$, $B$, $v$, $R$ を用いて表せ。ただし、コイルの自己誘導は無視できるものとする。