磁場の境界をまたぐ旋回軌道

磁束密度が平面を境に $B_{1}$ から $B_{2}$ へ不連続に変わるとき、各領域の円弧（半径 $\frac{m v}{q B _{i}}$ ）を境界でつなぎ、1 周期の間の境界に沿った変位と所要時間から平均のドリフト速度を求められる

前提

ラーマー運動とサイクロトロン振動数（大学物理プラズマ物理）
磁場領域での荷電粒子の軌道の幾何（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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ラーマー運動とサイクロトロン振動数（大学物理プラズマ物理）
磁場領域での荷電粒子の軌道の幾何（高校物理電磁気と交流）

説明

磁束密度が平面を境に $B_{1}$ と $B_{2}$ に分かれている空間では、境界をまたいで旋回する荷電粒子の軌道は、半径の異なる 2 種類の円弧をつないだ形になります。大きい円弧と小さい円弧で境界に沿って進む距離が異なるため、1 周ごとに境界に沿ってずれていき、平均すると一定の速さで流れます（磁場の強さの違いによるドリフト）。この技能では、各領域の円弧の半径と中心角から 1 周期の変位と所要時間を求め、平均のドリフト速度を求めます。磁場が場所によって強さを変えるときに粒子がどう流されるかを、もっとも単純な形で理解する場面で使います。

なぜそうしてよいのか

境界を $y = 0$ の平面とし、 $y > 0$ で磁場 $(0, 0, B_{1})$ 、 $y < 0$ で $(0, 0, B_{2})$ （ $B_{1}, B_{2} > 0$ 、同じ向き）とします。磁場は速さを変えないので、粒子は両方の領域で同じ速さ $v$ のまま、それぞれの領域で半径 $r_{1} = \frac{m v}{q B _{1}}$ 、 $r_{2} = \frac{m v}{q B _{2}}$ の円弧を描きます（ $q > 0$ とします）。境界では速度が連続なので、2 つの円弧は境界上の同じ点で、同じ接線の向きでつながります。

いちばん簡単なのは、粒子が境界を垂直に横切る場合です。原点から $+ y$ 向きに出発すると、正電荷は $z$ 軸の正の側から見て時計回りに回るので、 $y > 0$ では中心 $(r_{1}, 0)$ の半円を描いて $(2 r_{1}, 0)$ に $- y$ 向きで戻ってきます。次に $y < 0$ でも同じく時計回りなので、今度は $- x$ 側へ曲がり、中心 $(2 r_{1} - r_{2}, 0)$ の半円を描いて $(2 r_{1} - 2 r_{2}, 0)$ に $+ y$ 向きで戻ります。ここで出発時と同じ状態になるので、これが 1 周期です。1 周期の変位は $x$ 方向に $2 (r_{1} - r_{2})$ 、所要時間はそれぞれの半周期の和 $\frac{π m}{q B _{1}} + \frac{π m}{q B _{2}}$ です。

2 つの半円は境界に沿って逆向きに進むので、半径が同じなら打ち消し合ってその場で回るだけですが、半径が違うと差 $2 (r_{1} - r_{2})$ だけ毎周期ずれます。平均のドリフト速度は（変位）÷（周期）で
$v_{d} = \frac{2 ( r _{1} - r _{2} )}{\frac{π m}{q B _{1}} + \frac{π m}{q B _{2}}} = \frac{2 v}{π} \cdot \frac{B _{2} - B _{1}}{B _{1} + B _{2}}$
となり、磁場の弱い側の大きな円弧が進む向きに流されます。速度が境界と角 $φ$ をなして横切る場合も、各領域の弦の長さは $2 r_{i} sin φ$ で向きは互いに逆、一方の円弧で速度が回る角を $α$ とするともう一方は $2 π - α$ （1 周期で速度の向きが 1 回転して元に戻るため）となり、同じ考え方で求められます。

手順

各領域の円弧の半径 $r_{i} = \frac{m v}{∣ q ∣ B _{i}}$ と角振動数 $ω_{i} = \frac{∣ q ∣ B _{i}}{m}$ を求める（速さ $v$ は両領域で同じ）
旋回の向きから、各領域で粒子が境界に沿ってどちら向きに進むかを決め、境界上の出入りの点（弦の端）を求める。垂直に横切るなら半円で、弦の長さは $2 r_{i}$
1 周期（出発時と同じ位置の種類・同じ速度の向きに戻るまで）の境界に沿った変位を求める。垂直に横切るなら $2 (r_{1} - r_{2})$
1 周期の所要時間を、各円弧の中心角を角振動数で割って足し合わせて求める。半円どうしなら $\frac{π}{ω _{1}} + \frac{π}{ω _{2}}$
平均のドリフト速度を（変位）÷（所要時間）で求め、向きを確かめる

例題

$x y$ 平面上で、 $y > 0$ の領域には磁束密度 $(0, 0, B)$ 、 $y < 0$ の領域には磁束密度 $(0, 0, 3 B)$ の一様な磁場がある（ $B > 0$ ）。質量 $m$ 、電荷 $q (> 0)$ の粒子が原点から速さ $v$ で $+ y$ 向きに打ち出され、 $x y$ 平面内で運動する。重力は無視する。粒子が境界 $y = 0$ をまたいで旋回をくり返すときの、 $x$ 方向の平均のドリフト速度を $v$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 半径は $r_{1} = \frac{m v}{q B}$ （ $y > 0$ ）、 $r_{2} = \frac{m v}{3 q B}$ （ $y < 0$ ）。角振動数は $ω_{1} = \frac{q B}{m}$ 、 $ω_{2} = \frac{3 q B}{m}$ 。

手順 2: 正電荷は $z$ 軸の正の側から見て時計回りに回る。 $+ y$ 向きで出発すると $y > 0$ で中心 $(r_{1}, 0)$ の半円を描き $(2 r_{1}, 0)$ に $- y$ 向きで戻る。 $y < 0$ では $- x$ 側へ曲がり、中心 $(2 r_{1} - r_{2}, 0)$ の半円を描いて $(2 r_{1} - 2 r_{2}, 0)$ に $+ y$ 向きで戻る。

手順 3: 1 周期の $x$ 方向の変位は
$2 r_{1} - 2 r_{2} = 2 (\frac{m v}{q B} - \frac{m v}{3 q B}) = \frac{4 m v}{3 q B}$

手順 4: 所要時間は
$\frac{π}{ω _{1}} + \frac{π}{ω _{2}} = \frac{π m}{q B} + \frac{π m}{3 q B} = \frac{4 π m}{3 q B}$

手順 5: 平均のドリフト速度は
$v_{d} = \frac{4 m v / ( 3 q B )}{4 π m / ( 3 q B )} = \frac{v}{π}$
正なので $+ x$ 向き（磁場の弱い $y > 0$ 側の大きな円弧が進む向き）。公式 $\frac{2 v}{π} \cdot \frac{3 B - B}{B + 3 B} = \frac{v}{π}$ とも一致する。

答え: $\frac{v}{π}$

よくある誤り

2 つの円弧の弦を同じ向きに足して変位を $2 (r_{1} + r_{2})$ としてしまう誤り。旋回の向きは両領域で同じなので、境界の上側と下側では境界に沿って逆向きに進む。正しくは変位 $2 (r_{1} - r_{2})$
周期に 1 つの領域の周期 $\frac{2 π m}{q B _{1}}$ を使ってしまう誤り。各領域では半周ずつしか回らないので、正しくは $\frac{π m}{q B _{1}} + \frac{π m}{q B _{2}}$
平均のドリフト速度を 2 つの円弧の速さの差や $v$ そのものとしてしまう誤り。粒子の速さは $v$ のままで、正しくは 1 周期の正味の変位を周期で割った $\frac{2 ( r _{1} - r _{2} )}{π m / ( q B _{1} ) + π m / ( q B _{2} )} = \frac{2 v}{π} \cdot \frac{B _{2} - B _{1}}{B _{1} + B _{2}}$
負電荷でも正電荷と同じ向きにドリフトするとしてしまう誤り。旋回の向きが逆になるので、正しくは負電荷のドリフトは逆向き（上の例なら $- x$ 向き）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x y z$ 直交座標で、平面 $y = 0$ を境に磁場が不連続に変わっている。 $y > 0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な磁場が、 $y < 0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $2 B$ の一様な磁場がある（ $B > 0$ ）。電場はない。
質量 $m$ 、電気量 $q (q > 0)$ の粒子が、時刻 $t = 0$ に原点を $y$ 軸の正の向きに速さ $v$ で通過した。粒子は $x y$ 平面内で、2 つの領域の円弧を交互にたどりながら境界に沿って移動していく。重力と相対論的効果は無視する。
粒子が $y > 0$ の領域で 1 回、 $y < 0$ の領域で 1 回の円弧を描いて、再び原点を通過したときと同じ向き（ $y$ 軸の正の向き）で境界を通過するまでを 1 周期とする。1 周期にわたって平均した粒子の速度の $x$ 成分を、 $v$ を用いて表せ。

磁場の境界をまたぐ旋回軌道

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題