プラズマ物理の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理プラズマ物理

真空中に直交座標 $(x, y, z)$ をとる。静磁場は $z$ 成分だけをもち、その大きさが平面 $x = 0$ を境に次のように不連続に変わる（ $B > 0$ は定数）。
$B = {B z^2 B z^(x < 0) (x > 0)$
この磁場は平面 $x = 0$ に置かれた厚さの無視できる薄い電流層がつくっており、粒子はこの電流層を何の力も受けずに自由に通り抜けるものとする。電場はない。

電荷 $q$ （ $q > 0$ ）、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t = 0$ に原点を速さ $v$ （ $v > 0$ ）で $x$ 軸の正の向きに通過した。粒子の運動は非相対論的に扱い、重力と放射によるエネルギー損失は無視する。

粒子は $x y$ 平面内で、半径の異なる半円をつなげた軌道を描きながら、全体として $y$ 方向に移動していく。十分長い時間で平均した粒子の速度の $y$ 成分を、 $v$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

磁場の境界をまたぐ旋回軌道（説明と入口の問題）
ラーマー運動とサイクロトロン振動数（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

電場がないので粒子の速さは変わらない。それぞれの領域の中では一様磁場中の等速円運動になるので、各領域でのラーモア半径と周期を求め、境界 $x = 0$ を通過するたびに半円を描くことに注目しよう。

ヒント 2

ラーモア半径は $r = \frac{m v}{q B ^{'}}$ 、周期は $T^{'} = \frac{2 π m}{q B ^{'}}$ 。 $x > 0$ では $B^{'} = 2 B$ 、 $x < 0$ では $B^{'} = B$ である。また $q > 0$ 、磁場が $+ z$ 向きなので、粒子は $+ z$ 側から見て時計回りに回る。

ヒント 3

$x > 0$ で半径 $\frac{m v}{2 q B}$ の半円を描いて $y$ 方向に $- \frac{m v}{q B}$ 進み、 $x < 0$ で半径 $\frac{m v}{q B}$ の半円を描いて $+ \frac{2 m v}{q B}$ 進む。それぞれにかかる時間（半周期）を足し合わせ、1 周期あたりの $y$ 方向の変位をその時間で割る。

答えと解説

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\frac{2 v}{3 π}

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解説を読む

使う法則: 電場がなく静磁場だけがあるので、粒子にはたらく力はローレンツ力 $q v \times B$ だけである。この力はつねに速度に垂直なので仕事をせず、粒子の速さ $v$ は一定に保たれる。また磁場は $z$ 成分だけで、はじめ速度の $z$ 成分は $0$ なので、力の $z$ 成分 $q (v \times B)_{z}$ も $0$ であり、運動はずっと $x y$ 平面内にとどまる。各領域の中では磁場は一様なので、粒子は等速円運動をする。

運動方程式 $m \frac{v ^{2}}{r} = q v B^{'}$ （ $B^{'}$ はその領域の磁束密度の大きさ）より、ラーモア半径と周期は
$r = \frac{m v}{q B ^{'}}, T^{'} = \frac{2 π m}{q B ^{'}}$
である。したがって
$x > 0 : r_{2} = \frac{m v}{2 q B}, T_{2} = \frac{π m}{q B}, x < 0 : r_{1} = \frac{m v}{q B}, T_{1} = \frac{2 π m}{q B}$

回る向き: $x^\times z^= - y^$ なので、 $t = 0$ に $+ x$ 向きに進む粒子が受ける力は $- y$ 向きである。 $q > 0$ で磁場が $+ z$ 向きなので、粒子は $+ z$ 側から見て時計回りに回る（どちらの領域でも同じ）。

$x > 0$ の領域: 原点で $+ x$ 向きに入り、中心 $(0, - r_{2})$ の円の右半分（半円）を描いて、 $x = 0$ 上の点 $(0, - 2 r_{2})$ に $- x$ 向きの速度で戻る。かかる時間は半周期 $\frac{T _{2}}{2} = \frac{π m}{2 q B}$ 。

$x < 0$ の領域: 点 $(0, - 2 r_{2})$ で $- x$ 向きに入る。このとき力は $q (- v x^) \times (B z^) = q v B y^$ で $+ y$ 向きなので、中心は $(0, - 2 r_{2} + r_{1})$ にあり、左半分の半円を描いて点 $(0, - 2 r_{2} + 2 r_{1})$ に $+ x$ 向きの速度で戻る。かかる時間は $\frac{T _{1}}{2} = \frac{π m}{q B}$ 。

この点では、速さ $v$ で $+ x$ 向きに $x = 0$ を通過するという、 $t = 0$ と同じ状態になるので、以後は同じ運動をくり返す。

1 周期あたりの変位と時間: $y$ 方向の変位は
$Δ y = 2 r_{1} - 2 r_{2} = \frac{2 m v}{q B} - \frac{m v}{q B} = \frac{m v}{q B}$
かかる時間は
$Δ t = \frac{π m}{2 q B} + \frac{π m}{q B} = \frac{3 π m}{2 q B}$
である。 $x$ 方向には 1 周期ごとに元の位置 $x = 0$ に戻るので、長時間平均の速度は $y$ 成分だけで
$v ˉ_{y} = \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{m v}{q B} \cdot \frac{2 q B}{3 π m} = \frac{2 v}{3 π}$
となる。

（正の値なので $+ y$ 向きである。これは $B \times \nabla B$ の向き $z^\times x^= + y^$ と一致しており、磁場の勾配による $\nabla B$ ドリフトの極端な場合とみなせる。結果は $q, m, B$ によらない。）

答え: $v ˉ_{y} = \frac{2 v}{3 π}$

別解

磁場中の運動の半径は $r = \frac{m v}{q B _{z}}$ 。 $x < 0$ では $r_{1} = \frac{m v}{q B}$ 、 $x > 0$ では $r_{2} = \frac{m v}{2 q B} = \frac{r _{1}}{2}$ 。速さは磁場中で変わらない。

力は $q v \times B$ 。原点で $v = v x^$ 、 $B = 2 B z^$ （ $x > 0$ 側）なので $x^\times z^= - y^$ より力は $- y$ 向き。よって粒子は $x > 0$ で中心 $(0, - r_{2})$ の半円を描き、 $y = - 2 r_{2}$ で $x = 0$ に戻る（速度は $- x$ 向き）。

$x < 0$ では速度 $- v x^$ 、 $(- x^) \times z^= + y^$ より力は $+ y$ 向き。中心は $(0, - 2 r_{2} + r_{1})$ の半径 $r_{1}$ の半円を描き、 $y = - 2 r_{2} + 2 r_{1}$ で $x = 0$ に戻る（速度は $+ x$ 向き）。

1 周期での $y$ 方向の変位は $Δ y = - 2 r_{2} + 2 r_{1} = 2 r_{1} - r_{1} = r_{1}$ 。
1 周期の時間は、2 つの半円の時間の和 $T = \frac{π r _{1}}{v} + \frac{π r _{2}}{v} = \frac{π}{v} \cdot \frac{3}{2} r_{1} = \frac{3 π r _{1}}{2 v}$ 。
平均速度の $y$ 成分は $v ˉ_{y} = \frac{Δ y}{T} = \frac{r _{1}}{3 π r _{1} / ( 2 v )} = \frac{2 v}{3 π}$ （ $+ y$ 向き）。

検算: 1 周期後は初めと同じ位置関係（ $x = 0$ 通過、速度 $+ x$ 向き、速さ $v$ ）に戻るので、周期的な運動として平均を取ってよい。 $B$ の比 $1 : 2$ を一般の $B_{1}, B_{2}$ に拡張すると $v ˉ_{y} = \frac{2 v ( 1/ B _{1} - 1/ B _{2} )}{π ( 1/ B _{1} + 1/ B _{2} )} = \frac{2 v ( B _{2} - B _{1} )}{π ( B _{1} + B _{2} )}$ となり、 $B_{2} = 2 B_{1}$ で $\frac{2 v}{3 π}$ に一致する。

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