プラズマ物理の問題

SI 単位系を用いる。電気素量を $e$（$e>0$）とする。座標軸 $x,y,z$ は右手系をなすものとし、${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ をそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルとする（${\mathbf{e}}_z\times {\mathbf{e}}_x={\mathbf{e}}_y$）。

プラズマ中の $x=0$ の付近に、$z$ 軸の正の向きを向き、大きさが $x$ とともにゆるやかに変化する静磁場
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right){\mathbf{e}}_z(B_0>0,L>0)$$
と、$x$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場 $\mathbf{E}=E{\mathbf{e}}_x$（$E>0$）がかかっている。

この中で、陽子（電荷 $+e$）と電子（電荷 $-e$）の運動を案内中心近似で考える。どちらの粒子も案内中心は $x=0$ にあり、磁場に平行な速度成分は 0 で、磁場に垂直な運動（ラーモア運動）の運動エネルギーはどちらも $W$（$W>0$）である。ラーモア半径は $L$ に比べて十分小さく、ドリフトの速さは粒子の速さに比べて十分小さいとする。また、運動は非相対論的に扱い、重力と粒子間の衝突は無視する。

電場の大きさ $E$ は、陽子の案内中心がちょうど静止するように調整されている。このとき、電子の案内中心のドリフト速度の $y$ 成分を、$W$, $e$, $B_0$, $L$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様な静磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）と、同じく $z$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場（電場の大きさ $E>0$）がかかっている。電荷 $q>0$、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,-u)$$ で打ち出された（$v_0>0$、$u>0$ は定数）。ただし $u$ は $0<\frac{Bu}{E}<\pi$ を満たすとする。

粒子は打ち出された後、ふたたび平面 $z=0$ を通過する。その瞬間の粒子と $z$ 軸との距離を、$m,q,B,E,v_0,u$ を用いて求めよ。

ただし、重力と放射による損失は無視し、粒子の運動は非相対論的に扱ってよい。粒子の運動方程式は $m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ である。

直交座標 $(x,y,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの軸の正の向きの単位ベクトルとする。プラズマ中に、$z$ 方向を向き大きさが $x$ とともに変わる静磁場
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}}$$
と、一様な静電場 $\mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{x}}$ がかかっている（$B_0>0$, $L>0$ は定数、$E_0$ は実数の定数）。このプラズマは、電荷 $+e$ のイオンと電荷 $-e$ の電子からなり（$e>0$ は電気素量）、イオンの温度は $T_i$、電子の温度は $T_e$ である。どちらの粒子についても、磁場に垂直な運動の運動エネルギーの平均値は $k_{B}T$（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ はその粒子の温度）とする。

どちらの粒子もラーモア半径は $L$ に比べて十分小さく、案内中心近似が成り立つとし、ドリフト速度は $x=0$ の位置で評価する。また、粒子どうしの衝突、重力、電場や磁場の時間変化、プラズマの電流がつくる磁場の補正は無視する。

$E_0$ の値を、イオンの案内中心の平均ドリフト速度（$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと勾配ドリフトの和を、垂直運動エネルギーについて平均したもの）が $0$ になるように選んだ。このとき、電子の案内中心の平均ドリフト速度の $y$ 成分を、$k_B,T_i,T_e,e,B_0,L$ を用いて表せ。SI 単位系を用いる。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。考えている領域（$0\leqq x\leqq L$ を含む領域）には、次の静磁場と静電場がかかっている。
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right){\mathbf{e}}_z,\mathbf{E}=E_0{\mathbf{e}}_y$$
ここで $B_0>0$、$L>0$、$E_0>0$ は定数であり、${\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ はそれぞれ $y$ 軸、$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルである。この磁場は外部の電流がつくるものとし、その由来は考えなくてよい。

この場の中で、質量 $m$、電荷 $e$（$e>0$）の陽子 1 個の運動を考える。時刻 $0$ に陽子の旋回中心（案内中心）は原点 $(0,0,0)$ にあり、陽子は磁場に垂直な面内で旋回していて、その運動エネルギーは $K_0$ である。磁場に平行な速度成分は $0$ とする。

ラーモア半径は $L$ より十分小さく、案内中心の速度は E×B ドリフトと勾配ドリフト（$\nabla B$ ドリフト）の速度の和で表されるとする。また、磁気モーメント $\mu =\frac{K_{\perp }}{B}$（$K_{\perp }$ は磁場に垂直な運動の運動エネルギー）は断熱不変量として保存されるとする。重力と相対論的効果は無視する。

案内中心が平面 $x=L$ に達したときの、案内中心の $y$ 座標を $K_0$, $e$, $E_0$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。静磁場は $z$ 成分だけをもち、その大きさが平面 $x=0$ を境に次のように不連続に変わる（$B>0$ は定数）。
$$\mathbf{B}=\{\begin{array}{ll}B\hat{\mathbf{z}}& (x<0)\\ 2B\hat{\mathbf{z}}& (x>0)\end{array}$$
この磁場は平面 $x=0$ に置かれた厚さの無視できる薄い電流層がつくっており、粒子はこの電流層を何の力も受けずに自由に通り抜けるものとする。電場はない。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を速さ $v$（$v>0$）で $x$ 軸の正の向きに通過した。粒子の運動は非相対論的に扱い、重力と放射によるエネルギー損失は無視する。

粒子は $xy$ 平面内で、半径の異なる半円をつなげた軌道を描きながら、全体として $y$ 方向に移動していく。十分長い時間で平均した粒子の速度の $y$ 成分を、$v$ を用いて表せ。