プラズマ物理の問題

SI 単位系を用いる。電気素量を $e$（$e>0$）とする。座標軸 $x,y,z$ は右手系をなすものとし、${\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ をそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルとする（${\mathbf{e}}_z\times {\mathbf{e}}_x={\mathbf{e}}_y$）。

プラズマ中の $x=0$ の付近に、$z$ 軸の正の向きを向き、大きさが $x$ とともにゆるやかに変化する静磁場
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right){\mathbf{e}}_z(B_0>0,L>0)$$
と、$x$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場 $\mathbf{E}=E{\mathbf{e}}_x$（$E>0$）がかかっている。

この中で、陽子（電荷 $+e$）と電子（電荷 $-e$）の運動を案内中心近似で考える。どちらの粒子も案内中心は $x=0$ にあり、磁場に平行な速度成分は 0 で、磁場に垂直な運動（ラーモア運動）の運動エネルギーはどちらも $W$（$W>0$）である。ラーモア半径は $L$ に比べて十分小さく、ドリフトの速さは粒子の速さに比べて十分小さいとする。また、運動は非相対論的に扱い、重力と粒子間の衝突は無視する。

電場の大きさ $E$ は、陽子の案内中心がちょうど静止するように調整されている。このとき、電子の案内中心のドリフト速度の $y$ 成分を、$W$, $e$, $B_0$, $L$ を用いて表せ。

$xyz$ 直交座標系で、外部のコイルの電流がつくる静磁場が、考えている領域で
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}}$$
と表されるように $x$ 方向にゆるやかに変化している（この磁場を保つのに必要な電流は領域内を流れていてもよい）。さらに、$x$ 方向を向いた一様な静電場 $\mathbf{E}=E_x\hat{\mathbf{x}}$ がかかっている。ここで $B_0=0.10\text{T}$, $L=0.50\text{m}$ であり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{z}}$ はそれぞれ $x$, $z$ 方向の単位ベクトルである。

この場の中で陽子（電荷 $e>0$）が 1 個運動しており、その案内中心は $x=L$ の位置にある。陽子の磁場に垂直な方向の運動エネルギー（ラーマー運動の運動エネルギー）は $W_{\perp }=100\text{eV}$ である。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、案内中心近似が使えるものとする。また、陽子の相対論的効果・重力・衝突・陽子自身がつくる場は無視し、磁場の大きさの勾配による勾配ドリフトと $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトだけを考える。

陽子の案内中心の $y$ 方向のドリフト速度が $0$ になるようにするには、電場の $x$ 成分 $E_x$ を何 V/m にすればよいか。整数で求めよ。

直交座標 $(x,y,z)$ をとり、ある領域に次の静磁場と静電場がある。
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)\hat{\mathbf{z}},\mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{x}}$$
ここで $B_0>0$, $L>0$ は定数、$E_0$ は実数の定数で、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{z}}$ は $x$, $z$ 方向の単位ベクトルである。この領域には、アンペールの法則 $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{j}$ を満たすように、この磁場を作る一様な電流が $y$ 方向に流れている。磁力線はまっすぐで、曲率はない。これらの場は与えられたものとし、考える陽子の運動による場の変化は無視する。

この場の中を、電荷 $q(>0)$ の陽子が運動している（$q$ は電気素量に等しい正の定数を表す文字である）。陽子の案内中心はある瞬間に $x=0$ の面上にあり、磁場に垂直な方向の旋回運動の運動エネルギーは $W(>0)$ である。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、$|E_0|/B_0$ は旋回の速さに比べて十分小さいとして、案内中心のドリフト速度は、$x=0$ での場の値を使った $\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと磁場の勾配による $\nabla B$ ドリフト（勾配ドリフト）の和で表されるものとする。重力・衝突・放射は無視し、運動は非相対論的とする。

このときの案内中心のドリフト速度の $y$ 成分を、$E_0$, $B_0$, $W$, $q$, $L$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。考えている領域（$0\leqq x\leqq L$ を含む領域）には、次の静磁場と静電場がかかっている。
$$\mathbf{B}=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right){\mathbf{e}}_z,\mathbf{E}=E_0{\mathbf{e}}_y$$
ここで $B_0>0$、$L>0$、$E_0>0$ は定数であり、${\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z$ はそれぞれ $y$ 軸、$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルである。この磁場は外部の電流がつくるものとし、その由来は考えなくてよい。

この場の中で、質量 $m$、電荷 $e$（$e>0$）の陽子 1 個の運動を考える。時刻 $0$ に陽子の旋回中心（案内中心）は原点 $(0,0,0)$ にあり、陽子は磁場に垂直な面内で旋回していて、その運動エネルギーは $K_0$ である。磁場に平行な速度成分は $0$ とする。

ラーモア半径は $L$ より十分小さく、案内中心の速度は E×B ドリフトと勾配ドリフト（$\nabla B$ ドリフト）の速度の和で表されるとする。また、磁気モーメント $\mu =\frac{K_{\perp }}{B}$（$K_{\perp }$ は磁場に垂直な運動の運動エネルギー）は断熱不変量として保存されるとする。重力と相対論的効果は無視する。

案内中心が平面 $x=L$ に達したときの、案内中心の $y$ 座標を $K_0$, $e$, $E_0$ を用いて表せ。

惑星の磁気赤道面（$z=0$ の平面）内の運動を考える。惑星の中心を原点とする円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{\phi }},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの向きの単位ベクトルとする（$\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{\phi }}=\hat{\mathbf{z}}$）。惑星の半径を $a$ とする。

赤道面 $r>a$ での磁場と電場は
$$\mathbf{B}=B_0{\left(\frac{a}{r}\right)}^3\hat{\mathbf{z}},\mathbf{E}=-\frac{\Omega B_0{a}^3}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$$
で与えられるとする（$B_0>0$、$\Omega >0$ は定数。電場は惑星とともに角速度 $\Omega$ で回転するプラズマがつくる共回転電場である）。

この赤道面内で、電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、ピッチ角 $90^{\circ }$（磁場に平行な速度成分が $0$）で旋回運動している。$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトとともに動く系で見た旋回運動の運動エネルギーを $K$（$K>0$）とする。粒子は非相対論的に運動し、重力は無視する。ラーモア半径は場の変化の長さ $r$ に比べて十分小さく、案内中心近似（ドリフト近似）が使えるものとする。また $0<K<\frac{q\Omega B_0{a}^2}{3}$ とする。

案内中心の $\phi$ 方向のドリフト速度（$\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ ドリフトと勾配ドリフトの和）が $0$ になる半径 $r$ を、$q,\Omega ,B_0,a,K$ を用いて表せ。