ラーマー運動とサイクロトロン振動数

真空中に、大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子が、磁場の向きと $60^{\circ }$ の角をなす向きに速さ $v$ で入射した。粒子にはたらく力は磁場からのローレンツ力だけとし、重力は無視する。また、相対論的効果は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（粒子が 1 回旋回する間に磁場の方向に進む距離）を、$m$, $q$, $B$, $v$ を用いて表せ。

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、運動エネルギー $K$ をもち、磁場の向きと角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす向きに運動している。電場はなく、粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射によるエネルギー損失は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（サイクロトロン運動の 1 周期の間に、粒子が磁場の方向に進む距離）を $q$, $m$, $K$, $B$, $\theta$ を用いて表せ。

真空中で、電荷 $q$（$q>0$）をもち質量がそれぞれ $m_1$, $m_2$（$0<m_1<m_2$）の 2 種類のイオンを、静止した状態から電位差 $V$（$V>0$）で加速する。加速されたイオンは、点 $\mathrm{O}$ にあるスリットを通って、スリットの面に垂直な向きに、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場の領域に入る。磁場の向きはイオンの速度に垂直で、磁場の領域はスリットの面の片側全体に広がっている。イオンは磁場中で半円を描いてスリットの面に戻り、面上に置いた検出器に当たる。

2 種類のイオンが検出器に当たる位置の間の距離 $d$ を、$q,V,B,m_1,m_2$ を用いて表せ。ただし、重力・イオンどうしの相互作用・放射による損失は無視し、イオンの速さは光速に比べて十分小さく非相対論的に扱ってよいとする。

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。重陽子 D（電荷 $e$、質量 $2m_p$）と $\alpha$ 粒子（電荷 $2e$、質量 $4m_p$）が、それぞれ同じ運動エネルギー $K$ をもち、磁場に垂直な向きの速度で運動している。ここで $e$ は電気素量、$m_p$ は陽子の質量である。

粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射は無視する。重陽子のラーモア半径 $r_D$ と $\alpha$ 粒子のラーモア半径 $r_{\alpha }$ の比 $\frac{r_D}{r_{\alpha }}$ を求めよ。

SI 単位系を用いる。真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電場はなく、重力は無視する。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子がこの磁場中でらせん運動をしている。粒子にはたらく力はローレンツ力 $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけである。観測によると、らせんを $xy$ 平面に射影した円の半径（ラーモア半径）は $r$ であり、粒子が円を 1 周する間に $z$ 方向に進む距離（らせんのピッチ）は $d$ であった。粒子の運動は非相対論的に扱ってよく、粒子が出す放射の影響は無視する。

この粒子の運動エネルギー $K$ を、$q,m,B,r,d$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。静磁場は $z$ 成分だけをもち、その大きさが平面 $x=0$ を境に次のように不連続に変わる（$B>0$ は定数）。
$$\mathbf{B}=\{\begin{array}{ll}B\hat{\mathbf{z}}& (x<0)\\ 2B\hat{\mathbf{z}}& (x>0)\end{array}$$
この磁場は平面 $x=0$ に置かれた厚さの無視できる薄い電流層がつくっており、粒子はこの電流層を何の力も受けずに自由に通り抜けるものとする。電場はない。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を速さ $v$（$v>0$）で $x$ 軸の正の向きに通過した。粒子の運動は非相対論的に扱い、重力と放射によるエネルギー損失は無視する。

粒子は $xy$ 平面内で、半径の異なる半円をつなげた軌道を描きながら、全体として $y$ 方向に移動していく。十分長い時間で平均した粒子の速度の $y$ 成分を、$v$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様な静磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）と、同じく $z$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場（電場の大きさ $E>0$）がかかっている。電荷 $q>0$、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,-u)$$ で打ち出された（$v_0>0$、$u>0$ は定数）。ただし $u$ は $0<\frac{Bu}{E}<\pi$ を満たすとする。

粒子は打ち出された後、ふたたび平面 $z=0$ を通過する。その瞬間の粒子と $z$ 軸との距離を、$m,q,B,E,v_0,u$ を用いて求めよ。

ただし、重力と放射による損失は無視し、粒子の運動は非相対論的に扱ってよい。粒子の運動方程式は $m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ である。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電場はない。

電荷 $-e$（$e>0$）、質量 $m$ の電子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,u)$$ で運動を始めた（$v_0>0$, $u>0$）。電子にはたらく力はローレンツ力 $-e\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけとし、相対論的効果と電磁波の放射は無視する。

$t>0$ で電子の速度の $x$ 成分がはじめて $0$ になる時刻における電子の位置の座標 $(x,y,z)$ を、$m,e,B,v_0,u$ を用いて求めよ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとり、$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$ をそれぞれの軸の正の向きの単位ベクトルとする。一様な静磁場 $\mathbf{B}=B_0\hat{\mathbf{z}}$（$B_0>0$）がある。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子のサイクロトロン角振動数を ${\omega }_c=\frac{q{B}_0}{m}$ とする。

この領域に、空間的に一様で、$xy$ 平面内を回転する電場
$$\mathbf{E}(t)=E_0\left(\cos {\omega }_{c}t\hat{\mathbf{x}}-\sin {\omega }_{c}t\hat{\mathbf{y}}\right)(E_0>0)$$
を加える（サイクロトロン共鳴加熱のモデル）。時刻 $t=0$ に粒子は原点に静止していた。

粒子の運動は非相対論的に扱い、重力・放射による損失・電場とともに生じる磁場の変化は無視する。SI 単位系を用いる。

$N$ を正の整数とするとき、時刻 $t=\frac{2\pi N}{{\omega }_c}$ における粒子の原点からの距離を、$m,q,E_0,B_0,N$ を用いて表せ。

弱電離ガスの中に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ のイオンは、ローレンツ力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ のほかに、中性粒子との衝突による平均的な抵抗力として、速度に比例する力
$$\mathbf{F}=-m\nu \mathbf{v}$$
を受けるとする。ここで $\nu$（$\nu >0$）は一定の衝突周波数である。電場と重力は無視し、運動は非相対論的に扱う。

時刻 $t=0$ にこのイオンは原点にあり、速度は $\mathbf{v}(0)=(u,0,w)$（$u>0$, $w>0$）であった。イオンは十分長い時間ののちにある点に限りなく近づいて止まる。その点と原点との距離を、$u$, $w$, $\nu$, $q$, $B$, $m$ を用いて表せ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。静磁場は $z$ 軸の正の向きを向き、その磁束密度の大きさは
$$B(x)=\{\begin{array}{ll}{B}_1& (x<0)\\ B_2& (x>0)\end{array}(0<B_1<B_2)$$
のように平面 $x=0$ を境に不連続に変わる（各領域の中では一様）。電場はない。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を速度
$$\mathbf{v}(0)=(v\cos \alpha ,v\sin \alpha ,0)\left(v>0,-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$$
で通過した。粒子はローレンツ力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけを受けて非相対論的に運動するものとし、重力・放射による損失は無視する。

この粒子は境界面 $x=0$ を何度も横切りながら $y$ 方向にずれていく。十分長い時間で平均した粒子の速度の $y$ 成分（ドリフト速度）${\bar{v}}_y$ を、$v,\alpha ,B_1,B_2$ を用いて表せ。