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プラズマ物理の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理プラズマ物理

弱電離ガスの中に、 $z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$ （ $B > 0$ ）の一様な静磁場がかかっている。電荷 $q$ （ $q > 0$ ）、質量 $m$ のイオンは、ローレンツ力 $q v \times B$ のほかに、中性粒子との衝突による平均的な抵抗力として、速度に比例する力
$F = - m ν v$
を受けるとする。ここで $ν$ （ $ν > 0$ ）は一定の衝突周波数である。電場と重力は無視し、運動は非相対論的に扱う。

時刻 $t = 0$ にこのイオンは原点にあり、速度は $v (0) = (u, 0, w)$ （ $u > 0$ , $w > 0$ ）であった。イオンは十分長い時間ののちにある点に限りなく近づいて止まる。その点と原点との距離を、 $u$ , $w$ , $ν$ , $q$ , $B$ , $m$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

衝突抵抗を含む磁場中の運動（説明と入口の問題）
ラーマー運動とサイクロトロン振動数（説明と入口の問題）
オイラーの公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（89 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

磁場に平行な成分と垂直な成分に分けて考える。平行成分はローレンツ力を受けず抵抗力だけで減速する。

ヒント 2

垂直面内では $ζ = v_{x} + i v_{y}$ とおくと、運動方程式が $ζ ˙ = - (ν + i ω_{c}) ζ$ （ $ω_{c} = q B / m$ ）という 1 本の線形方程式にまとまる。

ヒント 3

$ζ (t) = u e^{- (ν + i ω_{c}) t}$ を $0$ から $\infty$ まで積分すると、垂直面内の最終変位は $\frac{u}{ν + i ω _{c}}$ 、平行方向の最終変位は $\frac{w}{ν}$ になる。

答えと解説

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\frac{w ^{2}}{ν ^{2}} + \frac{u ^{2}}{ν ^{2} + ( \frac{q B}{m} ) ^{2}}

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解説を読む

運動方程式

$B = (0, 0, B)$ のとき $v \times B = (B v_{y}, - B v_{x}, 0)$ である。サイクロトロン角振動数を $ω_{c} = \frac{q B}{m}$ とおくと、運動方程式は
$v ˙_{x} = ω_{c} v_{y} - ν v_{x}, v ˙_{y} = - ω_{c} v_{x} - ν v_{y}, v ˙_{z} = - ν v_{z} .$

磁場方向

$v_{z} = w e^{- ν t}$ なので、 $z$ 方向の最終的な変位は
$z_{\infty} = \int_{0}^{\infty} w e^{- ν t} d t = \frac{w}{ν} .$

磁場に垂直な面内

複素速度 $ζ = v_{x} + i v_{y}$ を導入すると、上の 2 式は
$ζ ˙ = (ω_{c} v_{y} - ν v_{x}) + i (- ω_{c} v_{x} - ν v_{y}) = - (ν + i ω_{c}) ζ$
とまとまる。初期条件 $ζ (0) = u$ より
$ζ (t) = u e^{- (ν + i ω_{c}) t} .$
これは半径が縮みながらラーモア回転する（サイクロトロン運動と減衰の重ね合わせ）運動を表す。複素位置 $X = x + i y$ の最終値は
$X_{\infty} = \int_{0}^{\infty} ζ d t = \frac{u}{ν + i ω _{c}}$
で（ $ν > 0$ なので $t \to \infty$ で $e^{- (ν + i ω_{c}) t} \to 0$ ）、その大きさは
$∣ X_{\infty} ∣ = \frac{u}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}} .$
（参考: 実部・虚部は $x_{\infty} = \frac{uν}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}$ , $y_{\infty} = - \frac{u ω _{c}}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}$ 。 $ν \to 0$ で $∣ X_{\infty} ∣$ はラーモア半径 $u / ω_{c}$ に一致し、回転の中心までの距離を表す。）

距離

$d = ∣ X_{\infty} ∣^{2} + z_{\infty}^{2} = \frac{w ^{2}}{ν ^{2}} + \frac{u ^{2}}{ν ^{2} + ( \frac{q B}{m} ) ^{2}} .$

別解

運動方程式は $m v ˙ = q v \times B - m ν v$ 。 $ω = q B / m$ とおくと、 $B = (0, 0, B)$ より $q v \times B = q B (v_{y}, - v_{x}, 0)$ なので
$v ˙_{x} = ω v_{y} - ν v_{x}, v ˙_{y} = - ω v_{x} - ν v_{y}, v ˙_{z} = - ν v_{z}$ 。

$V = v_{x} + i v_{y}$ とおくと $V ˙ = - (ν + iω) V$ なので $V (t) = u e^{- (ν + iω) t}$ 。 $v_{z} (t) = w e^{- ν t}$ 。

十分長い時間後の変位は
$Δ (x + i y) = \int_{0}^{\infty} V d t = \frac{u}{ν + iω} = \frac{u ( ν - iω )}{ν ^{2} + ω ^{2}}$ 、よって $x^{2} + y^{2} = \frac{u ^{2}}{ν ^{2} + ω ^{2}}$ 。
$Δ z = \int_{0}^{\infty} w e^{- ν t} d t = \frac{w}{ν}$ 。

原点からの距離は
$d = \frac{u ^{2}}{ν ^{2} + ω ^{2}} + \frac{w ^{2}}{ν ^{2}} = \frac{m ^{2} u ^{2}}{m ^{2} ν ^{2} + q ^{2} B ^{2}} + \frac{w ^{2}}{ν ^{2}}$ 。

検算: $B \to 0$ では $d = u^{2} + w^{2} / ν$ となり、抵抗だけを受ける直線運動の停止距離 $∣ v_{0} ∣/ ν$ に一致する。また $ν \to 0$ の極限で $w / ν$ が発散するのも、 $z$ 方向に等速で進み続けるという予想と合う。

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