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プラズマ物理の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理プラズマ物理

真空中に円柱座標 $(r, φ, z)$ をとり、 $r^, φ^, z^$ をそれぞれの座標が増える向きの単位ベクトルとする（ $r^\times φ^= z^$ ）。 $z$ 軸に沿って無限に長い細い直線導線があり、 $z$ 軸の正の向きに定常電流 $I$ （ $I > 0$ ）が流れている。また、導線は長さあたり $λ$ の一様な電荷をもつ（ $λ$ は正にも負にもなりうる定数）。導線の外の電場と磁場は
$E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} r^, B = \frac{μ _{0} I}{2 π r} φ^$
である。ここで $ε_{0}$ , $μ_{0}$ はそれぞれ真空の誘電率と透磁率である。

電荷 $q$ （ $q > 0$ ）、質量 $m$ の粒子が、導線から距離 $r_{0}$ のあたりで磁力線のまわりを旋回している。粒子の磁場に平行な速さを $u$ 、磁場に垂直な速さ（旋回の速さ）を $w$ とし（ $u > 0$ , $w > 0$ ）、ラーモア半径は $r_{0}$ に比べて十分に小さいとする。重力・相対論的効果・粒子どうしの相互作用・放射は無視する。

案内中心近似（ドリフト近似）の最低次で考えると、案内中心は磁力線に沿った運動のほかに $z$ 方向にドリフトする。このドリフトの速度が $0$ になるような $λ$ を、 $ε_{0}, m, q, u, w$ を用いて求めよ。

この問題で使うもの

E×B ドリフトと一般の力によるドリフト（説明と入口の問題）
磁気モーメントと勾配ドリフト（説明と入口の問題）
空間ベクトルの外積（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

磁力線が円形に曲がっているので、E×B ドリフト・勾配ドリフト・曲率ドリフトの 3 つを求めて足し合わせる。

ヒント 2

$v_{E} = \frac{E \times B}{B ^{2}}$ , $v_{\nabla B} = \frac{m w ^{2}}{2 q B} \frac{B \times \nabla B}{B ^{2}}$ , $v_{R} = \frac{m u ^{2}}{q B ^{2}} \frac{R _{c} \times B}{R _{c}^{2}}$ 。 $B r = \frac{μ _{0} I}{2 π}$ は $r$ によらない。

ヒント 3

$v_{E} = \frac{λ}{ε _{0} μ _{0} I} z^$ 、 $v_{\nabla B} + v_{R} = \frac{m}{q B r} (u^{2} + \frac{w ^{2}}{2}) z^$ となる。

答えと解説

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- \frac{π ε _{0} m ( 2 u ^{2} + w ^{2} )}{q}

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解説を読む

案内中心近似の最低次では、案内中心の磁場に垂直なドリフト速度は次の 3 つの和である。
$v_{E} = \frac{E \times B}{B ^{2}}, v_{\nabla B} = \frac{m w ^{2}}{2 q B} \frac{B \times \nabla B}{B ^{2}}, v_{R} = \frac{m u ^{2}}{q B ^{2}} \frac{R _{c} \times B}{R _{c}^{2}}$
ここで $R_{c}$ は曲率中心から案内中心へ向かう曲率半径ベクトルである。磁力線は $z$ 軸を中心とする円なので曲がっており、勾配ドリフトとともに曲率ドリフトも考える必要がある。

以下、 $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ より $B r = \frac{μ _{0} I}{2 π}$ （ $r$ によらない）であることを使う。

E×B ドリフト
$r^\times φ^= z^$ より
$v_{E} = \frac{E}{B} z^= \frac{λ}{2 π ε _{0} r} \cdot \frac{2 π r}{μ _{0} I} z^= \frac{λ}{ε _{0} μ _{0} I} z^$

勾配ドリフト
$\nabla B = \frac{d B}{d r} r^= - \frac{B}{r} r^$ であり、 $φ^\times r^= - z^$ なので
$B \times \nabla B = B \cdot (- \frac{B}{r}) (- z^) = \frac{B ^{2}}{r} z^$
よって
$v_{\nabla B} = \frac{m w ^{2}}{2 q B r} z^$

曲率ドリフト
磁力線は半径 $r$ の円なので $R_{c} = r r^$ 。 $R_{c} \times B = r B z^$ より
$v_{R} = \frac{m u ^{2}}{q B ^{2}} \cdot \frac{r B}{r ^{2}} z^= \frac{m u ^{2}}{q B r} z^$

勾配ドリフトと曲率ドリフトを合わせると
$v_{\nabla B} + v_{R} = \frac{m}{q B r} (u^{2} + \frac{w ^{2}}{2}) z^= \frac{2 π m}{q μ _{0} I} (u^{2} + \frac{w ^{2}}{2}) z^= \frac{π m ( 2 u ^{2} + w ^{2} )}{q μ _{0} I} z^$

ドリフトが 0 になる条件
すべてのドリフトは $z$ 方向を向くので、 $z$ 成分の和を $0$ とおく。
$\frac{λ}{ε _{0} μ _{0} I} + \frac{π m ( 2 u ^{2} + w ^{2} )}{q μ _{0} I} = 0$
両辺に $ε_{0} μ_{0} I$ をかけて
$λ = - \frac{π ε _{0} m ( 2 u ^{2} + w ^{2} )}{q}$

（どのドリフト速度も $r$ によらないので、この条件は $r_{0}$ によらず成り立つ。 $q > 0$ では勾配・曲率ドリフトが $+ z$ 向きなので、 $λ < 0$ にして E×B ドリフトを $- z$ 向きにすれば打ち消せる。）

別解

磁場は $φ^$ 向き（磁力線は $z$ 軸まわりの円）。案内中心のドリフトは、 $E \times B$ ドリフト、勾配 B ドリフト、曲率ドリフトの和である。 $r^\times φ^= z^$ 、 $B = μ_{0} I / (2 π r)$ を使う。

(1) $E \times B$ ドリフト: $v_{E} = \frac{E \times B}{B ^{2}} = \frac{E}{B} z^$ 。 $E / B = \frac{λ}{2 π ε _{0} r} \cdot \frac{2 π r}{μ _{0} I} = \frac{λ}{ε _{0} μ _{0} I}$ 。よって $v_{E} = \frac{λ}{ε _{0} μ _{0} I}$ （ $z$ 成分）。

(2) 勾配 B ドリフト: 磁気モーメントによる力 $- μ \nabla B$ （ $μ = m w^{2} / (2 B)$ ）、 $\nabla B = - (B / r) r^$ より力は外向きに $\frac{m w ^{2}}{2 r} r^$ 。ドリフト速度 $\frac{F \times B}{q B ^{2}} = \frac{m w ^{2}}{2 q B r} z^= \frac{π m w ^{2}}{q μ _{0} I} z^$ 。

(3) 曲率ドリフト: 磁力線の曲率半径は $r$ （円）で、遠心力は外向きに $\frac{m u ^{2}}{r} r^$ 。ドリフト速度 $\frac{m u ^{2}}{q B r} z^= \frac{2 π m u ^{2}}{q μ _{0} I} z^$ 。

合計の $z$ 方向ドリフト: $v_{z} = \frac{λ}{ε _{0} μ _{0} I} + \frac{π m ( w ^{2} + 2 u ^{2} )}{q μ _{0} I}$ 。これを 0 とおくと
$λ = - \frac{π ε _{0} m ( 2 u ^{2} + w ^{2} )}{q}$ 。
確認: $λ < 0$ で、正電荷の粒子に対し電場は内向き（粒子を内側へ押す）になり、外向きの遠心力・勾配力と釣り合う向きで、符号は妥当。

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