磁気モーメントと勾配ドリフト

旋回運動の磁気モーメント $μ = \frac{W _{⊥}}{B}$ と、磁場の大きさの勾配による力 $- μ \nabla B$ から、勾配ドリフト $v_{\nabla B} = \frac{W _{⊥}}{q B ^{3}} B \times \nabla B$ を求め、 $E \times B$ ドリフトと足し合わせた案内中心の速度や、ドリフトが打ち消し合う電場を求められる

前提

E×B ドリフトと一般の力によるドリフト（大学物理プラズマ物理）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）

説明

磁場の向きはそろっているが大きさが場所によって変わるとき、旋回する荷電粒子の案内中心は、磁場にも勾配にも垂直な向きにゆっくり流れていきます。これを勾配ドリフトといい、旋回運動を小さな円電流（磁気モーメント $μ = \frac{W _{⊥}}{B}$ ）とみなして、それが受ける力 $- μ \nabla B$ を一般の力によるドリフトの式に入れると求められます。電場があるときは $E \times B$ ドリフトと足し合わせて案内中心の速度を求めたり、二つのドリフトが打ち消し合う電場を求めたりできます。磁気閉じ込め装置や地球の放射線帯で粒子が磁場を横切って流れる仕組みを理解するのに使います。

なぜそうしてよいのか

旋回運動は円電流: 電荷 $q$ 、質量 $m$ の粒子が磁場 $B$ の中で、磁場に垂直な速さ $v_{⊥}$ で旋回するとき、角振動数は $ω_{c} = \frac{∣ q ∣ B}{m}$ 、ラーマー半径は $r_{L} = \frac{m v _{⊥}}{∣ q ∣ B}$ です。1 周期 $\frac{2 π}{ω _{c}}$ ごとに電荷 $q$ が 1 回通るので、円電流の大きさは $I = \frac{∣ q ∣ ω _{c}}{2 π}$ 。その磁気モーメント（電流 × 面積）は
$μ = I \cdot π r_{L}^{2} = \frac{∣ q ∣}{2 π} \cdot \frac{∣ q ∣ B}{m} \cdot π \frac{m ^{2} v _{⊥}^{2}}{q ^{2} B ^{2}} = \frac{m v _{⊥}^{2}}{2 B} = \frac{W _{⊥}}{B}$
となります（ $W_{⊥} = \frac{1}{2} m v_{⊥}^{2}$ ）。電荷の正負によらず、この円電流がつくる磁場は外部の磁場を弱める向き、すなわち磁気モーメントは $B$ と逆向きです。

勾配があると力がはたらく: $B$ と逆向きの磁気モーメントは、磁場の強い所ほどエネルギー $μ B$ が高く、強い所から弱い所へ押し出されます。1 周の平均をとると、旋回する粒子は $F = - μ \nabla B$ の力を受けているのと同じになります（直観的には、磁場が強い側では旋回の曲がり方がきつく、弱い側ではゆるいので、1 周ごとに円がずれていく）。この扱いは、 $B$ が 1 回の旋回の間にほとんど変わらない（ラーマー半径が勾配の長さより十分小さい）ときに成り立ちます。

ドリフトの式に入れる: 一定の力 $F$ によるドリフト $\frac{F \times B}{q B ^{2}}$ に $F = - \frac{W _{⊥}}{B} \nabla B$ を入れ、 $- \nabla B \times B = B \times \nabla B$ を使うと
$v_{\nabla B} = \frac{W _{⊥}}{q B ^{3}} B \times \nabla B$
を得ます。 $q$ が分母に残るので、イオンと電子は逆向きにドリフトし、それによって電流が生じます。電場もあれば、案内中心の速度は $v_{E} + v_{\nabla B}$ と足し合わせます。

手順

考える位置での磁場ベクトル $B$ と、その大きさ $B = ∣ B ∣$ を書く
磁場の大きさ $B$ の勾配 $\nabla B$ を偏微分で計算し、考える位置での値を求める（ $B$ の成分の勾配ではなく、大きさ $B$ の勾配）
磁気モーメント $μ = \frac{W _{⊥}}{B}$ を求める（ $W_{⊥} = \frac{1}{2} m v_{⊥}^{2}$ は磁場に垂直な運動エネルギー）
外積を計算して勾配ドリフト $v_{\nabla B} = \frac{W _{⊥}}{q B ^{3}} B \times \nabla B$ を求める。 $q$ は符号を含めて代入する
電場があれば $v_{E} = \frac{E \times B}{B ^{2}}$ を加えて案内中心の速度とする。打ち消し合う電場は $v_{E} + v_{\nabla B} = 0$ から求める

例題

磁場が $B = B_{0} (1 + \frac{y}{L}) z^$ （ $B_{0} > 0$ 、 $L > 0$ は定数）で与えられる領域に、電荷 $q$ の粒子が磁場に垂直な運動エネルギー $W$ で旋回している。電場はなく、ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さいとする。案内中心が $y = 0$ にあるとき、勾配ドリフトの速度の $x$ 成分を $W, q, B_{0}, L$ で表せ。

例題の解答

手順 1（磁場）: $y = 0$ で $B = B_{0} z^$ 、 $B = B_{0}$ 。

手順 2（勾配）: 大きさは $B = B_{0} (1 + \frac{y}{L})$ （ $∣ y ∣ < L$ で正）なので $\nabla B = (0, \frac{B _{0}}{L}, 0)$ 。

手順 3（磁気モーメント）: $μ = \frac{W}{B _{0}}$ 。

手順 4（ドリフト）: $B \times \nabla B = B_{0} z^\times \frac{B _{0}}{L} y^= - \frac{B _{0}^{2}}{L} x^$ （ $z^\times y^= - x^$ ）。よって
$v_{\nabla B} = \frac{W}{q B _{0}^{3}} (- \frac{B _{0}^{2}}{L}) x^= - \frac{W}{q B _{0} L} x^.$

（確認）力 $- μ \nabla B = - \frac{W}{L} y^$ を $\frac{F \times B}{q B ^{2}}$ に入れても $\frac{1}{q B _{0}^{2}} (- \frac{W}{L}) B_{0} (y^\times z^) = - \frac{W}{q B _{0} L} x^$ で一致する。 $q > 0$ なら $- x$ 向き、 $q < 0$ なら $+ x$ 向き。

答え: $- \frac{W}{q B _{0} L}$

よくある誤り

磁気モーメントを $μ = \frac{W}{B}$ として全運動エネルギーを使ってしまう誤り。正しくは磁場に垂直な成分だけの $W_{⊥} = \frac{1}{2} m v_{⊥}^{2}$ を使い $μ = \frac{W _{⊥}}{B}$ （磁場に沿った運動は円電流をつくらない）
外積の順序を逆にして $v_{\nabla B} = \frac{W _{⊥}}{q B ^{3}} \nabla B \times B$ としてしまう誤り。力 $- μ \nabla B$ の負号を入れると $\frac{( - μ \nabla B ) \times B}{q B ^{2}} = \frac{W _{⊥}}{q B ^{3}} B \times \nabla B$ になる
勾配ドリフトも $E \times B$ ドリフトと同じく電荷によらないとしてしまう誤り。正しくは $v_{\nabla B}$ は分母に $q$ を含み、イオンと電子で逆向き（ $v_{E} = \frac{E \times B}{B ^{2}}$ だけが電荷によらない）
磁場の大きさではなく成分の勾配を使ってしまう誤り。たとえば $B = (B_{x}, B_{y}, 0)$ の向きが場所で変わるときは $B = B_{x}^{2} + B_{y}^{2}$ の勾配 $\nabla B$ を計算する（ $\nabla B_{x}$ などではない）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x y z$ 直交座標で、磁場がつねに $z$ 軸の正の向きを向き、その大きさが
$B (x) = B_{0} (1 + \frac{x}{L})$
で与えられる静磁場がある（ $B_{0} > 0$ , $L > 0$ は定数）。電場はない。質量 $m$ 、電気量 $q (q > 0)$ の粒子が、案内中心が $x = 0$ の位置にある状態で磁場のまわりを旋回しており、磁場に垂直な方向の運動エネルギーは $W_{⊥}$ である。磁場に平行な速度成分は $0$ とする。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、勾配ドリフトの公式
$v_{\nabla B} = \frac{W _{⊥}}{q B ^{3}} B \times \nabla B$
が使えるものとする。重力と相対論的効果は無視する。
案内中心が $x = 0$ にあるときの勾配ドリフト速度の $y$ 成分を、 $W_{⊥}$ , $q$ , $B_{0}$ , $L$ を用いて表せ。

磁気モーメントと勾配ドリフト

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題