衝突抵抗を含む磁場中の運動

ローレンツ力と抵抗力 $- m ν v$ を受ける粒子の運動方程式を、垂直成分を複素速度 $v_{x} + i v_{y}$ にまとめて解き、速度の時間変化や、止まるまでに進む変位（ $\int_{0}^{\infty} v d t$ ）を求められる

前提

ラーマー運動とサイクロトロン振動数（大学物理プラズマ物理）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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オイラーの公式（大学数学微分積分）

説明

プラズマ中の荷電粒子は、磁場からのローレンツ力に加えて、ほかの粒子との衝突によって速度に比例するブレーキ $- m ν v$ （ $ν$ は衝突周波数）を受けます。このとき粒子は旋回しながら速さを失い、渦巻きを描いて止まります。この技能では、磁場に垂直な 2 つの速度成分を 1 つの複素数 $w = v_{x} + i v_{y}$ にまとめることで連立の運動方程式を 1 本の 1 階線形微分方程式にし、速度の時間変化や止まるまでの変位を求めます。磁場を横切る拡散や移動度、ホール効果の微視的なモデルを考える場面で使います。

なぜそうしてよいのか

磁場を $z$ 方向に $B = (0, 0, B)$ ととり、電荷 $q$ （符号込み）、質量 $m$ の粒子を考えます。ローレンツ力 $q v \times B$ の成分は $(q B v_{y}, - q B v_{x}, 0)$ なので、 $Ω = \frac{q B}{m}$ （符号つき。 $∣Ω∣ = ω_{c}$ ）とおくと、運動方程式は
$\frac{d v _{x}}{d t} = Ω v_{y} - ν v_{x}, \frac{d v _{y}}{d t} = - Ω v_{x} - ν v_{y}, \frac{d v _{z}}{d t} = - ν v_{z}$
です。 $v_{x}$ と $v_{y}$ が互いに入り込んで連立になっていますが、2 本目に $i$ を掛けて 1 本目に足すと、 $w = v_{x} + i v_{y}$ について
$\frac{d w}{d t} = Ω v_{y} - i Ω v_{x} - ν w = - i Ω (v_{x} + i v_{y}) - ν w = - (ν + i Ω) w$
と 1 本にまとまります。 $- i Ω w$ の項は、複素平面上で速度ベクトルを一定の角速度で回す（ $i$ を掛けるのは $9 0^{\circ}$ 回転）という、ローレンツ力のはたらきをそのまま表しています。

これは係数が複素数の定数である 1 階線形微分方程式 $w^{'} + (ν + i Ω) w = 0$ なので、積分因子 $e^{(ν + i Ω) t}$ を掛けて $(w e^{(ν + i Ω) t})^{'} = 0$ 、よって $w (t) = w_{0} e^{- ν t} e^{- i Ω t}$ です。オイラーの公式で読むと、速度の大きさは $∣ w_{0} ∣ e^{- ν t}$ と指数関数的に減り、向きは角速度 $Ω$ で回り続けます（ $q > 0$ なら $z$ 軸の正の側から見て時計回り）。

止まるまでの変位は $Δ x + i Δ y = \int_{0}^{\infty} w d t$ です。 $ν > 0$ なので $∣ e^{- (ν + i Ω) t} ∣ = e^{- ν t} \to 0$ となり、積分は収束して
$\int_{0}^{\infty} w_{0} e^{- (ν + i Ω) t} d t = \frac{w _{0}}{ν + i Ω} = \frac{w _{0} ( ν - i Ω )}{ν ^{2} + Ω ^{2}}$
となります。分母の実数化で実部・虚部がそれぞれ $Δ x$ 、 $Δ y$ です。磁場方向の成分は磁場の影響を受けず、 $v_{z} = v_{z 0} e^{- ν t}$ 、変位 $\frac{v _{z 0}}{ν}$ です。

手順

磁場を $z$ 方向にとり、ローレンツ力と抵抗力の成分を書いて $v_{x}, v_{y}$ の運動方程式を立てる。 $Ω = \frac{q B}{m}$ は電荷の符号を含めておく
$w = v_{x} + i v_{y}$ とおき、( $x$ の式) $+ i \times$ ( $y$ の式) から $\frac{d w}{d t} = - (ν + i Ω) w$ を作る
1 階線形微分方程式として解き、 $w (t) = w_{0} e^{- (ν + i Ω) t}$ とする（ $w_{0} = v_{x 0} + i v_{y 0}$ ）。速度成分が必要ならオイラーの公式で実部・虚部に分ける
変位は $\int_{0}^{\infty} w d t = \frac{w _{0}}{ν + i Ω}$ を計算し、分母を実数化して $Δ x$ （実部）と $Δ y$ （虚部）を読む
磁場方向の運動は別に $v_{z} = v_{z 0} e^{- ν t}$ 、変位 $\frac{v _{z 0}}{ν}$ として扱う

例題

一様な磁場 $B = (0, 0, B)$ （ $B > 0$ ）の中で、質量 $m$ 、電荷 $q (> 0)$ の粒子が、ローレンツ力と抵抗力 $- m ν v$ （ $ν > 0$ は定数）だけを受けて運動する。時刻 $t = 0$ に原点を速度 $(v_{0}, 0, 0)$ で出発した。 $ω_{c} = \frac{q B}{m}$ とおく。粒子が十分時間がたって止まるまでの変位 $(Δ x, Δ y)$ を $v_{0}, ν, ω_{c}$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: ローレンツ力は $q v \times B = (q B v_{y}, - q B v_{x}, 0)$ なので
$\frac{d v _{x}}{d t} = ω_{c} v_{y} - ν v_{x}, \frac{d v _{y}}{d t} = - ω_{c} v_{x} - ν v_{y}$
（ $q > 0$ なので $Ω = ω_{c}$ ）。

手順 2: $w = v_{x} + i v_{y}$ とおくと $\frac{d w}{d t} = - (ν + i ω_{c}) w$ 。

手順 3: $w (0) = v_{0}$ なので $w (t) = v_{0} e^{- (ν + i ω_{c}) t}$ 。 $∣ w ∣ = v_{0} e^{- ν t} \to 0$ で粒子は止まる。

手順 4:
$Δ x + i Δ y = \int_{0}^{\infty} v_{0} e^{- (ν + i ω_{c}) t} d t = \frac{v _{0}}{ν + i ω _{c}} = \frac{v _{0} ( ν - i ω _{c} )}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}$
実部と虚部を比べて
$Δ x = \frac{v _{0} ν}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}, Δ y = - \frac{v _{0} ω _{c}}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}$

（確認: $ν \to 0$ では $(Δ x, Δ y) \to (0, - \frac{v _{0}}{ω _{c}})$ となり、衝突がないときの旋回の中心 $(0, - r_{L})$ に一致する。）

答え: $(\frac{v _{0} ν}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}, - \frac{v _{0} ω _{c}}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}})$

よくある誤り

$w = v_{x} + i v_{y}$ の方程式を $\frac{d w}{d t} = - (ν - i Ω) w$ と符号を逆にしてしまう誤り。 $B = (0, 0, B)$ のとき $\frac{d v _{x}}{d t} = Ω v_{y} - ν v_{x}$ 、 $\frac{d v _{y}}{d t} = - Ω v_{x} - ν v_{y}$ から、正しくは $\frac{d w}{d t} = - (ν + i Ω) w$ （回転の向きが逆になる）
$\frac{1}{ν + i Ω}$ の実部を $\frac{1}{ν}$ 、虚部を $\frac{1}{Ω}$ のように分けてしまう誤り。正しくは分母を実数化して $\frac{1}{ν + i Ω} = \frac{ν - i Ω}{ν ^{2} + Ω ^{2}}$
電子など負の電荷でも $Ω = \frac{∣ q ∣ B}{m}$ を使ってしまう誤り。旋回の向きが逆になるので、正しくは符号つきの $Ω = \frac{q B}{m}$ （電子なら $- \frac{e B}{m}$ ）を使い、 $Δ y$ の符号が反転する
$\int_{0}^{\infty} e^{- (ν + i Ω) t} d t$ で、 $t \to \infty$ の項を振動するから値が定まらないとしてしまう誤り。 $∣ e^{- (ν + i Ω) t} ∣ = e^{- ν t} \to 0$ （ $ν > 0$ ）なので、正しくは値 $\frac{1}{ν + i Ω}$ に収束する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$ 、電気量 $q (q > 0)$ の粒子が、時刻 $t = 0$ に原点を $x$ 軸の正の向きに速さ $v_{0}$ で通過した。粒子には、ローレンツ力 $q v \times B$ のほかに、衝突による抵抗力 $- m ν v$ （ $ν > 0$ は定数の衝突周波数）がはたらき、ほかの力（重力など）は無視できるとする。相対論的効果は無視する。 $ω_{c} = \frac{q B}{m}$ とおく。
粒子は $x y$ 平面内を運動し、やがて止まる。粒子が止まるまでに到達する点の座標 $(X, Y)$ を、 $v_{0}$ , $ν$ , $ω_{c}$ を用いて $(X, Y)$ の順の組で表せ。

衝突抵抗を含む磁場中の運動

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題