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プラズマ物理の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理プラズマ物理

$z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$ 、電気量 $q (q > 0)$ の粒子が、時刻 $t = 0$ に原点を $x$ 軸の正の向きに速さ $v_{0}$ で通過した。粒子には、ローレンツ力 $q v \times B$ のほかに、衝突による抵抗力 $- m ν v$ （ $ν > 0$ は定数の衝突周波数）がはたらき、ほかの力（重力など）は無視できるとする。相対論的効果は無視する。 $ω_{c} = \frac{q B}{m}$ とおく。

粒子は $x y$ 平面内を運動し、やがて止まる。粒子が止まるまでに到達する点の座標 $(X, Y)$ を、 $v_{0}$ , $ν$ , $ω_{c}$ を用いて $(X, Y)$ の順の組で表せ。

この問題で使うもの

衝突抵抗を含む磁場中の運動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（89 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「衝突抵抗を含む磁場中の運動」を使う。運動方程式を $x$ , $y$ 成分で書き、複素速度 $w = v_{x} + i v_{y}$ にまとめよう。

ヒント 2

成分の式は $\frac{d v _{x}}{d t} = ω_{c} v_{y} - ν v_{x}$ , $\frac{d v _{y}}{d t} = - ω_{c} v_{x} - ν v_{y}$ 。まとめると $\frac{d w}{d t} = - (ν + i ω_{c}) w$ となる。

ヒント 3

$w (t) = v_{0} e^{- (ν + i ω_{c}) t}$ を $0$ から $\infty$ まで積分すると $X + iY = \frac{v _{0}}{ν + i ω _{c}}$ 。分母を実数化して実部と虚部を読み取ろう。

答えと解説

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(\frac{v _{0} ν}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}, - \frac{v _{0} ω _{c}}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}})

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解説を読む

1. 運動方程式を成分で書く

$B = (0, 0, B)$ より $v \times B = (v_{y} B, - v_{x} B, 0)$ である。運動方程式 $m \frac{d v}{d t} = q v \times B - m ν v$ を $m$ で割り、 $ω_{c} = \frac{q B}{m}$ を使うと
$\frac{d v _{x}}{d t} = ω_{c} v_{y} - ν v_{x}, \frac{d v _{y}}{d t} = - ω_{c} v_{x} - ν v_{y}$
$z$ 方向には力がはたらかず初速度の $z$ 成分も $0$ なので、運動は $x y$ 平面内に限られる。

2. 複素速度にまとめる

$w = v_{x} + i v_{y}$ とおくと
$\frac{d w}{d t} = (ω_{c} v_{y} - ν v_{x}) + i (- ω_{c} v_{x} - ν v_{y}) = - i ω_{c} (v_{x} + i v_{y}) - ν (v_{x} + i v_{y}) = - (ν + i ω_{c}) w$

3. 解く

これは変数分離形で、初期条件 $w (0) = v_{0}$ より
$w (t) = v_{0} e^{- (ν + i ω_{c}) t} = v_{0} e^{- ν t} (cos ω_{c} t - i sin ω_{c} t)$
$ν > 0$ なので $t \to \infty$ で $w \to 0$ 、つまり粒子は回りながら減速して止まる。

4. 止まるまでの変位を求める

変位の複素表示 $X + iY = \int_{0}^{\infty} w d t$ を計算する。
$\int_{0}^{\infty} v_{0} e^{- (ν + i ω_{c}) t} d t = [- \frac{v _{0}}{ν + i ω _{c}} e^{- (ν + i ω_{c}) t}]_{0}^{\infty} = \frac{v _{0}}{ν + i ω _{c}}$
（ $∣ e^{- (ν + i ω_{c}) t} ∣ = e^{- ν t} \to 0$ を使った。）分母を実数化すると
$\frac{v _{0}}{ν + i ω _{c}} = \frac{v _{0} ( ν - i ω _{c} )}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}$
実部と虚部を比べて
$X = \frac{v _{0} ν}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}, Y = - \frac{v _{0} ω _{c}}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}$

$Y < 0$ となるのは、正電荷が $+ z$ 向きの磁場中で $+ z$ 側から見て時計回りに旋回するためである（ $t = 0$ でのローレンツ力 $q v_{0} x^\times B z^= - q v_{0} B y^$ も $- y$ 向き）。

よって $(X, Y) = (\frac{v _{0} ν}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}, - \frac{v _{0} ω _{c}}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}})$ 。

別解

$B = B z^$ なので $v \times B = (v_{y} B, - v_{x} B, 0)$ 。運動方程式 $m v ˙ = q v \times B - m ν v$ を成分で書くと、 $ω_{c} = q B / m$ として
$v ˙_{x} = ω_{c} v_{y} - ν v_{x}, v ˙_{y} = - ω_{c} v_{x} - ν v_{y} .$
$t = 0$ から $\infty$ まで積分する。粒子は止まるので $v (\infty) = 0$ 、初期速度は $(v_{0}, 0)$ 、移動距離は $\int_{0}^{\infty} v_{x} d t = X$ , $\int_{0}^{\infty} v_{y} d t = Y$ （原点から出発）。
$x 成分 : 0 - v_{0} = ω_{c} Y - ν X, y 成分 : 0 - 0 = - ω_{c} X - ν Y .$
第 2 式より $Y = - \frac{ω _{c}}{ν} X$ 。第 1 式に代入して $- v_{0} = - \frac{ω _{c}^{2}}{ν} X - ν X = - \frac{ω _{c}^{2} + ν ^{2}}{ν} X$ より
$X = \frac{ν v _{0}}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}}, Y = - \frac{ω _{c} v _{0}}{ν ^{2} + ω _{c}^{2}} .$

検算: 磁場がない極限（ $ω_{c} \to 0$ ）では $X = v_{0} / ν$ （抵抗だけで減速する粒子の到達距離 $v_{0} / ν$ ）、 $Y = 0$ で一致する。 $ν \to 0$ の極限では円運動の周期的な軌道（半径 $v_{0} / ω_{c}$ 、中心 $(0, - v_{0} / ω_{c})$ ）で、原点から見て $Y = - v_{0} / ω_{c}$ が円の最下点に対応する、すなわち螺旋の中心は $(0, - v_{0} / ω_{c})$ に近づく。初めの力 $F_{y} = - q v_{0} B < 0$ なので、まず $- y$ 向きに曲がるという符号とも整合する。

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