プラズマ物理の問題

SI 単位系を用いる。真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がかかっている。電場はなく、重力は無視する。

電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子がこの磁場中でらせん運動をしている。粒子にはたらく力はローレンツ力 $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ だけである。観測によると、らせんを $xy$ 平面に射影した円の半径（ラーモア半径）は $r$ であり、粒子が円を 1 周する間に $z$ 方向に進む距離（らせんのピッチ）は $d$ であった。粒子の運動は非相対論的に扱ってよく、粒子が出す放射の影響は無視する。

この粒子の運動エネルギー $K$ を、$q,m,B,r,d$ を用いて表せ。

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。電荷 $q$（$q>0$）、質量 $m$ の粒子が、運動エネルギー $K$ をもち、磁場の向きと角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす向きに運動している。電場はなく、粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射によるエネルギー損失は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（サイクロトロン運動の 1 周期の間に、粒子が磁場の方向に進む距離）を $q$, $m$, $K$, $B$, $\theta$ を用いて表せ。

真空中に、磁束密度の大きさ $B$（$B>0$）の一様な静磁場がある。重陽子 D（電荷 $e$、質量 $2m_p$）と $\alpha$ 粒子（電荷 $2e$、質量 $4m_p$）が、それぞれ同じ運動エネルギー $K$ をもち、磁場に垂直な向きの速度で運動している。ここで $e$ は電気素量、$m_p$ は陽子の質量である。

粒子にはたらく力はローレンツ力だけとし、相対論的効果と放射は無視する。重陽子のラーモア半径 $r_D$ と $\alpha$ 粒子のラーモア半径 $r_{\alpha }$ の比 $\frac{r_D}{r_{\alpha }}$ を求めよ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様な静磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）と、同じく $z$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場（電場の大きさ $E>0$）がかかっている。電荷 $q>0$、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,-u)$$ で打ち出された（$v_0>0$、$u>0$ は定数）。ただし $u$ は $0<\frac{Bu}{E}<\pi$ を満たすとする。

粒子は打ち出された後、ふたたび平面 $z=0$ を通過する。その瞬間の粒子と $z$ 軸との距離を、$m,q,B,E,v_0,u$ を用いて求めよ。

ただし、重力と放射による損失は無視し、粒子の運動は非相対論的に扱ってよい。粒子の運動方程式は $m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ である。

一様な真空磁場（磁束密度の大きさ $B_0=2.00\mathrm{T}$）の中に、厚みのある平板状のプラズマが置かれ、磁力線はプラズマの表面に平行である。プラズマは静止した平衡状態にあり、その内部は一様で、電子とイオン（1 価）の密度はどちらも $n=5.00\times 10^{19}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子とイオンの温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$ である。プラズマの外側（真空中）の磁束密度の大きさは $B_0$ のまま保たれており、プラズマの内部の磁場もプラズマの表面に平行で一様である。

プラズマの圧力は理想気体の式で与えられるとし、プラズマの内部と外部の間で、気体の圧力と磁気圧 $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ の和がつり合っているとする。プラズマの内部の磁束密度の大きさを $\mathrm{T}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とし、プラズマ表面の厚さや磁力線の曲がりによる張力は無視する。