プラズマ物理の問題

電子と 1 価の陽イオン（水素イオン）からなる一様なプラズマが、一様な磁場（磁束密度の大きさ $B$）の中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性であり、電子密度とイオン密度はどちらも $n=1.00\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子温度とイオン温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$（すなわち $k_B{T}_e=k_B{T}_i=10.0\mathrm{keV}$）である。電子とイオンはそれぞれ理想気体とみなし、プラズマの圧力は電子の圧力とイオンの圧力の和とする。

プラズマのベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する（$p$ はプラズマの圧力、$B^2/(2{\mu }_0)$ は磁気圧）。$\beta =0.0400$ となるために必要な磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。有効数字 3 桁で求めよ。

SI 単位系を用い、電気素量を $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$（$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$）、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$ とする。

水素プラズマ（電子と 1 価の陽子だけからなる）が、磁束密度の大きさ $B=2.0\text{T}$ の磁場中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性で、電子密度とイオン密度はともに $n=5.0\times 10^{19}{\text{m}}^{-3}$ である。電子とイオンはともに理想気体とみなし、電子温度とイオン温度は等しい値 $T$ とする。

プラズマの圧力 $p$（電子とイオンの圧力の和）と磁気圧の比であるベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する。$\beta =0.040$ のとき、温度 $T$ をエネルギー単位で表した値 $k_{B}T$ は何 $\text{keV}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{H/m}$、$1\text{eV}=1.60\times 10^{-19}\text{J}$ とする。

磁場のない一様な冷たいプラズマがあり、電子密度は $n_e=1.00\times 10^{18}{\mathrm{m}}^{-3}$ である。このプラズマの中を、周波数 $f=15.0\mathrm{GHz}$ のマイクロ波（横波の電磁波）が伝わる。マイクロ波の群速度の大きさを $m/s$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、イオンは重いので動かないとし、電子の熱運動と衝突は無視する。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^{8}m/s$、$\pi =3.1416$ とする。

真空中に、一様な磁場で閉じ込められたプラズマの柱がある。プラズマと外側の真空は鋭い境界で接しており、境界は静止して力学的に釣り合っている。境界の外側（真空）の磁場は一様で大きさ $B_e$、境界の内側（プラズマ中）の磁場は一様で大きさ $B_i$ であり、どちらも境界面に平行である。プラズマ中の圧力は一様で $p$ であり、真空中の圧力は $0$ とする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、$0<2{\mu }_{0}p<B_e^2$ とする。

プラズマ中の磁場の大きさ $B_i$ を、$B_e$, $p$, ${\mu }_0$ を用いて表せ。

一様な電子-イオンプラズマが熱平衡にあり、電子温度は $k_{\mathrm{B}}{T}_e=5.0\mathrm{eV}$ である。このプラズマのデバイ長は電子の寄与だけで決まるとし（イオンの寄与は無視する）、
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}{T}_e}{n_e{e}^2}}$$
で与えられるものとする。ここで $n_e$ は電子密度である。デバイ球（半径 ${\lambda }_D$ の球）の中に含まれる電子の個数
$$N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
を測定したところ、$N_D=1.0\times 10^4$ であった。このときの電子密度 $n_e$ を、単位を ${\mathrm{m}}^{-3}$ として有効数字 2 桁で求めよ。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。