プラズマ物理の問題

一様な真空磁場（磁束密度の大きさ $B_0=2.00\mathrm{T}$）の中に、厚みのある平板状のプラズマが置かれ、磁力線はプラズマの表面に平行である。プラズマは静止した平衡状態にあり、その内部は一様で、電子とイオン（1 価）の密度はどちらも $n=5.00\times 10^{19}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子とイオンの温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$ である。プラズマの外側（真空中）の磁束密度の大きさは $B_0$ のまま保たれており、プラズマの内部の磁場もプラズマの表面に平行で一様である。

プラズマの圧力は理想気体の式で与えられるとし、プラズマの内部と外部の間で、気体の圧力と磁気圧 $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ の和がつり合っているとする。プラズマの内部の磁束密度の大きさを $\mathrm{T}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とし、プラズマ表面の厚さや磁力線の曲がりによる張力は無視する。

半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（z ピンチ）がある。円柱座標 $(r,\phi ,z)$ を、円柱の中心軸を $z$ 軸にとって定める。プラズマ中（$0\le r\le a$）には $z$ 軸の正の向きに一様な電流密度 $J_0(>0)$ の電流が流れ、$r>a$ には電流は流れていない。磁場は電流がつくる周方向成分 $B_{\phi }(r)$ だけであり、プラズマは静止した MHD 平衡
$$\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B},\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$$
にあるとする。圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、表面では $p(a)=0$ とする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。

中心軸上の圧力 $p(0)$ を、${\mu }_0$, $J_0$, $a$ を用いて表せ。

真空中に、大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子が、磁場の向きと $60^{\circ }$ の角をなす向きに速さ $v$ で入射した。粒子にはたらく力は磁場からのローレンツ力だけとし、重力は無視する。また、相対論的効果は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（粒子が 1 回旋回する間に磁場の方向に進む距離）を、$m$, $q$, $B$, $v$ を用いて表せ。

電子と 1 価の陽イオン（水素イオン）からなる一様なプラズマが、一様な磁場（磁束密度の大きさ $B$）の中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性であり、電子密度とイオン密度はどちらも $n=1.00\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子温度とイオン温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$（すなわち $k_B{T}_e=k_B{T}_i=10.0\mathrm{keV}$）である。電子とイオンはそれぞれ理想気体とみなし、プラズマの圧力は電子の圧力とイオンの圧力の和とする。

プラズマのベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する（$p$ はプラズマの圧力、$B^2/(2{\mu }_0)$ は磁気圧）。$\beta =0.0400$ となるために必要な磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。有効数字 3 桁で求めよ。

SI 単位系を用い、電気素量を $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$（$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$）、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$ とする。

$x<0$ は真空、$x\ge 0$ はプラズマで、プラズマの電子密度は $x$ だけに依存し、
$$n(x)=n_c\frac{x}{L}(x\ge 0)$$
とゆるやかに増加している（$L>0$ は定数）。ここで $n_c=\frac{{\epsilon }_0{m}_e{\omega }^2}{e^2}$ は角振動数 $\omega$ の電磁波に対する遮断密度であり、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$m_e$ は電子の質量、$e$ は電気素量である。プラズマ中の電磁波の局所的な分散関係は ${\omega }^2={\omega }_p(x{)}^2+c^2(k_x^2+k_y^2)$、${\omega }_p(x{)}^2=\frac{n(x)e^2}{{\epsilon }_0{m}_e}$ で与えられ、イオンは動かず、磁場はないものとする。$c$ は真空中の光速である。

真空側から角振動数 $\omega$ の電磁波が、$xy$ 平面内で $x$ 軸の正の向きと $60^{\circ }$ の角をなす向きに入射した。電磁波が反射される位置（$k_x=0$ となる位置）の $x$ 座標を、$L$ を用いて表せ。