プラズマ物理の問題

水素プラズマ（電子と 1 価の陽子だけからなる）が、磁束密度の大きさ $B=2.0\text{T}$ の磁場中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性で、電子密度とイオン密度はともに $n=5.0\times 10^{19}{\text{m}}^{-3}$ である。電子とイオンはともに理想気体とみなし、電子温度とイオン温度は等しい値 $T$ とする。

プラズマの圧力 $p$（電子とイオンの圧力の和）と磁気圧の比であるベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する。$\beta =0.040$ のとき、温度 $T$ をエネルギー単位で表した値 $k_{B}T$ は何 $\text{keV}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{H/m}$、$1\text{eV}=1.60\times 10^{-19}\text{J}$ とする。

一様な真空磁場（磁束密度の大きさ $B_0=2.00\mathrm{T}$）の中に、厚みのある平板状のプラズマが置かれ、磁力線はプラズマの表面に平行である。プラズマは静止した平衡状態にあり、その内部は一様で、電子とイオン（1 価）の密度はどちらも $n=5.00\times 10^{19}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子とイオンの温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$ である。プラズマの外側（真空中）の磁束密度の大きさは $B_0$ のまま保たれており、プラズマの内部の磁場もプラズマの表面に平行で一様である。

プラズマの圧力は理想気体の式で与えられるとし、プラズマの内部と外部の間で、気体の圧力と磁気圧 $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ の和がつり合っているとする。プラズマの内部の磁束密度の大きさを $\mathrm{T}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とし、プラズマ表面の厚さや磁力線の曲がりによる張力は無視する。

電子と 2 価の陽イオン（電荷 $+2e$）だけからなる一様なプラズマが、全体として電気的に中性な熱平衡状態にある。電子密度を $n_e$、電子温度を $T_e$、イオン温度を $T_i=\frac{T_e}{2}$ とする。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、ボルツマン定数を $k_B$、電気素量を $e$ とする。

デバイ遮蔽を線形近似（$|q\varphi |\ll k_{B}T$）で扱うと、電子とイオンの両方の応答を考えたデバイ長 ${\lambda }_D$ は
$$\frac{1}{{\lambda }_D^2}=\sum _s\frac{n_s{q}_s^2}{{\epsilon }_0{k}_B{T}_s}$$
（和は電子とイオンについてとる。$n_s,q_s,T_s$ はそれぞれの粒子種の密度・電荷・温度）で与えられる。一方、電子の応答だけを考えたデバイ長を ${\lambda }_{De}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_e{e}^2}}$ とする。

プラズマパラメータを「半径がデバイ長の球の中にある電子の数」と定め、${\lambda }_D$ を用いたものを $N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$、${\lambda }_{De}$ を用いたものを $N_{De}=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_{De}^3$ とする。比 $\frac{N_D}{N_{De}}$ を、根号を含む最も簡単な形で求めよ。

一様な電子-イオンプラズマが熱平衡にあり、電子温度は $k_{\mathrm{B}}{T}_e=5.0\mathrm{eV}$ である。このプラズマのデバイ長は電子の寄与だけで決まるとし（イオンの寄与は無視する）、
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}{T}_e}{n_e{e}^2}}$$
で与えられるものとする。ここで $n_e$ は電子密度である。デバイ球（半径 ${\lambda }_D$ の球）の中に含まれる電子の個数
$$N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
を測定したところ、$N_D=1.0\times 10^4$ であった。このときの電子密度 $n_e$ を、単位を ${\mathrm{m}}^{-3}$ として有効数字 2 桁で求めよ。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

半径 $b$ の無限に長い完全導体の円筒殻が $z$ 軸を中心軸として置かれている。はじめ円筒の内部は真空で、$z$ 方向を向いた一様な磁場（磁束密度の大きさ $B_0>0$）だけがある。

この円筒の内部の中心に、半径 $a=\frac{b}{2}$ の円柱状のプラズマ（$r<a$）をつくった。つくった後の状態は次のとおりとする。
- プラズマの圧力 $p$ は $r<a$ で一様で、$r>a$ では $0$ である（境界は鋭い）。
- 磁場は $z$ 成分だけをもち、$r<a$ では一様な大きさ $B_i$、$a<r<b$ では一様な大きさ $B_e$ である（どちらも $z$ の正の向き）。
- 系は静的な平衡にあり、プラズマの境界 $r=a$ で「プラズマ圧力と磁気圧の和」が連続である。
- 円筒殻は完全導体なので、円筒の内部を貫く $z$ 方向の全磁束ははじめと変わらない。

プラズマの圧力が $p=\frac{5}{9}\cdot \frac{B_0^2}{{\mu }_0}$ であったとき、プラズマの外側の真空磁場で定義したベータ値
$$\beta =\frac{p}{B_e^2/(2{\mu }_0)}$$
を既約分数で求めよ。ただし ${\mu }_0$ は真空の透磁率で、SI 単位系を用いる。