磁気圧とベータ値

磁気圧 $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ とプラズマ圧力の比であるベータ値 $β = \frac{p}{B ^{2} / ( 2 μ _{0} )}$ を計算し、鋭い境界での圧力の釣り合い $p + \frac{B _{i}^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$ と磁束の保存を連立して、内外の磁場やベータ値を求められる

前提

インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
電流が磁場から受ける力（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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電流が磁場から受ける力（高校物理電磁気と交流）

説明

磁場は、それに垂直な面を $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ の大きさの圧力で押すようにはたらきます。これを磁気圧といいます。プラズマを磁場で閉じ込めるとき、プラズマの圧力 $p$ が磁気圧に比べてどれくらいかを表す比 $β = \frac{p}{B ^{2} / ( 2 μ _{0} )}$ をベータ値といい、磁場がどれだけ効率よくプラズマを支えているかの目安になります。この技能では、境界での圧力の釣り合いと磁束の保存から、プラズマ内外の磁場やベータ値を求めます。

なぜそうしてよいのか

磁場のエネルギー密度は $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ です。磁場に平行な境界面（面積 $S$ ）の外側に一様な磁場 $B$ があり、内側には磁場がないとします。境界を外へ $Δ x$ だけ押し広げて磁場のある体積を $S Δ x$ だけ減らすには、磁場のエネルギー $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} S Δ x$ を相手にする必要があり、単位面積あたりの力（圧力）にすると $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ です。つまり磁場は、自分が占める領域を押しつぶされまいとして、境界を圧力 $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ で押し返します。

電流が受ける力からも同じ結果が出ます。内側の磁場 $B_{i}$ と外側の磁場 $B_{e}$ （どちらも境界に平行で同じ向き）が薄い境界層で切り替わるとき、境界には面電流が流れています。幅 $l$ あたりの電流を $K$ とし、境界をまたぐ長方形の経路にアンペールの法則を使うと $(B_{e} - B_{i}) l = μ_{0} K l$ 、つまり $K = \frac{B _{e} - B _{i}}{μ _{0}}$ 。境界層の中の磁場は $B_{i}$ から $B_{e}$ へ一様に変わるとみなすと、電流が感じる磁場の平均は $\frac{B _{e} + B _{i}}{2}$ なので、単位面積あたりの力は
$K \cdot \frac{B _{e} + B _{i}}{2} = \frac{B _{e}^{2} - B _{i}^{2}}{2 μ _{0}}$
で、向きは磁場の強い側から弱い側へです。これは「両側の磁気圧の差」そのものです。

したがって、内側にプラズマ（圧力 $p$ ）があって外側は真空の鋭い境界が静止しているためには、内向きの力と外向きの力が釣り合って $p + \frac{B _{i}^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$ が必要です。プラズマが磁場を押しのけている（反磁性）ので $B_{i} < B_{e}$ になり、 $0 \leq β \leq 1$ （外側の磁場を基準にしたとき）です。さらに、電気をよく通すプラズマや導体の壁に囲まれた領域では磁場が通り抜けられないので、断面を貫く磁束 $Φ = \sum B S$ が一定に保たれます。この条件を釣り合いの式と連立すると、内外の磁場を決めることができます。

手順

磁気圧 $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ をそれぞれの領域の磁場で書く（ $B$ は境界に平行な磁場の大きさ）
鋭い境界での圧力の釣り合い $p + \frac{B _{i}^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$ を立てる（ $B_{i}$ はプラズマ内、 $B_{e}$ は外側の真空の磁場）
未知数が多いときは磁束の保存 $Φ = B_{i} S_{i} + B_{e} S_{e} = (一定)$ を連立する（ $S_{i}, S_{e}$ はそれぞれの領域の断面積）
ベータ値 $β = \frac{p}{B ^{2} / ( 2 μ _{0} )}$ を、問題で指定された基準の磁場（外側の $B_{e}$ など）で計算する。外側基準なら釣り合いの式から $β = 1 - \frac{B _{i}^{2}}{B _{e}^{2}}$

例題

真空中の一様な磁場 $B_{e}$ の中に、境界が鋭いプラズマの柱が静止して置かれている。プラズマ内部の磁場 $B_{i}$ は外側と同じ向きで、どちらも境界に平行で一様とする。プラズマ内部の圧力 $p$ は一様で、外側の磁場を基準にしたベータ値 $β = \frac{p}{B _{e}^{2} / ( 2 μ _{0} )}$ が $0.36$ である。比 $\frac{B _{i}}{B _{e}}$ を分数で求めよ。

例題の解答

手順 1: 内側の磁気圧は $\frac{B _{i}^{2}}{2 μ _{0}}$ 、外側の磁気圧は $\frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$ 。

手順 2: 境界での圧力の釣り合いは
$p + \frac{B _{i}^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$

手順 3: 磁場の比を聞かれているので、磁束の保存は使わなくてよい。

手順 4: 釣り合いの式の両辺を $\frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$ で割ると $β + \frac{B _{i}^{2}}{B _{e}^{2}} = 1$ 。よって
$\frac{B _{i}^{2}}{B _{e}^{2}} = 1 - 0.36 = 0.64$
$B_{i}, B_{e} > 0$ なので $\frac{B _{i}}{B _{e}} = 0.8 = \frac{4}{5}$ 。

答え: $\frac{4}{5}$

よくある誤り

磁気圧を $\frac{B ^{2}}{μ _{0}}$ や $\frac{B}{2 μ _{0}}$ としてしまう誤り。磁場のエネルギー密度と同じで、正しくは $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$
釣り合いの式でプラズマ内部の磁気圧を忘れて $p = \frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$ としてしまう誤り。内部に磁場が残っていれば、正しくは $p + \frac{B _{i}^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$
磁場の比と磁気圧の比を混同して $\frac{B _{i}}{B _{e}} = 1 - β$ としてしまう誤り。磁気圧は $B^{2}$ に比例するので、正しくは $\frac{B _{i}}{B _{e}} = 1 - β$
プラズマが磁場を押しのけても外側の磁場が変わらないとしてしまう誤り。導体の壁に囲まれていて磁束が保存されるときは、正しくは $B_{i} S_{i} + B_{e} S_{e} = Φ$ から外側の磁場 $B_{e}$ も強くなる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中に、一様な磁場で閉じ込められたプラズマの柱がある。プラズマと外側の真空は鋭い境界で接しており、境界は静止して力学的に釣り合っている。境界の外側（真空）の磁場は一様で大きさ $B_{e}$ 、境界の内側（プラズマ中）の磁場は一様で大きさ $B_{i}$ であり、どちらも境界面に平行である。プラズマ中の圧力は一様で $p$ であり、真空中の圧力は $0$ とする。真空の透磁率を $μ_{0}$ とし、 $0 < 2 μ_{0} p < B_{e}^{2}$ とする。
プラズマ中の磁場の大きさ $B_{i}$ を、 $B_{e}$ , $p$ , $μ_{0}$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

円柱プラズマの MHD 平衡（θ ピンチ・z ピンチ）（大学物理プラズマ物理）